4.1. Процессы авторегрессии – проинтегрированного скользящего среднего

4.1.1. Нестационарность процесса авторегрессии первого порядка

На рис. 4.1 показаны участки четырех временных рядов, полученных практически. Эти ряды наблюдались в задачах прогнозирования и контроля и уже по виду кажутся нестационарными. Ряды A, C и D представляют собой «нерегулируемые» выходные данные (концентрацию, температуру и вязкость) трех различных химических процессов. Эти ряды были выбраны, чтобы показать, как на выходные данные влияют такие нерегулируемые и неизмеряемые возмущения, как вариации расхода сырья и окружающей температуры. Температурный ряд C был получен временным отсоединением регуляторов на опытном заводе с записью последующих температурных флуктуаций. Оба ряда A и D получены в промышленных процессах, где необходимо было поддерживать некую выходную характеристику качества продукта как можно ближе к заданному уровню. Чтобы достигнуть такого регулирования, управляли другой переменной процесса – это позволяло приближенно устранять вариации выхода. Однако эффект этих регулирующих действий на выход в каждом случае был точно известен, так что можно было ввести численную поправку за регулирующее воздействие. Это означает, что можно было с хорошей точностью рассчитывать значения ряда, которые могли бы быть получены при отсутствии корректирующих действий.

Рис. 4.1. некоторые типичные временные ряды, встречающиеся в задачах прогноза и регулирования: а – ряд A. «Нерегулируемая» концентрация, отсчет каждые два часа, химический процесс. б – ряд B. Биржевые цены акций IBM, ежедневные данные, в – ряд С. «Нерегулируемая» температура, отсчет каждую минуту, химический процесс, г – ряд D. «Нерегулируемая» вязкость, отсчет каждый час, химический процесс.

Рис. 4.2. Реализация нестационарного процесса авторегрессии первого порядка.

Здесь показаны именно эти компенсированные величины; они в дальнейшем называется «нерегулируемыми» рядами. Ряд B состоит из суточных цен акций компании IBM за период, начинавшийся с мая 1961г. Полные данные по каждому ряду приведены в сборнике временных рядов в конце этой книги. На рис. 4.1 показаны по 100 последовательных наблюдений каждого ряда; точки соединены прямыми линиями.

Существует неограниченное число различных проявлений нестационарности процесса. Однако те типы экономических и индустриальных рядов, которые мы хотим анализировать, часто проявляют весьма специфическую однородную нестационарность. Такая нестационарность может быть представлена стохастической моделью, являющейся модифицированной формой модели АРСС. В гл. 3 была рассмотрена модель авторегрессии – скользящего среднего

,                                           (4.1.1)

где  и  - полиномы от  степеней  и . Для того чтобы процесс был стационарным, нужно, чтобы корни  лежали вне единичного круга. Естественный путь получения нестационарного процесса заключается в ослаблении этого ограничения.

Для лучшего понимания возможностей этого подхода рассмотрим модель авторегрессии первого порядка

,                                               (4.1.2)

стационарную при . Изучим поведение этого процесса при значении , лежащем вне диапазона стационарности.

В табл. 4.1 показано множество случайных величин нормального процесса с единичной дисперсией и соответствующие значения ряда , генерируемого моделью  при .

Таблица 4.1. Первые 11 значений нестационарного процесса авторегрессии первого порядка

Ряд представлен графиком на рис. 4.2. Видно, что после которого вступительного периода ряд «срывается» и, по существу, следует экспоненциальному закону; причем генерируемые значения  практически не играют никакой роли в дальнейшем ходе графика. Поведение рядов, генерируемых процессами высшего порядка, у которых нарушено условие стационарности, сходно. Далее, это поведение остается существенно тем же вне зависимости от того, включены ли в модель члены, описывающие процесс скользящего среднего.