П7.1.1. Разбиение положительно определенной квадратичной формы
Рассмотрим
положительно определенную квадратичную форму 
. Пусть вектор 
размера 
разбит на две части после 
-го элемента, так
что 
, и
пусть матрица 
размера
также
разбита на части после -й строки и -го столбца, так что
.
Тогда, так как
всегда может быть представлена как
сумма двух квадратичных форм 
и 
содержащих соответственно и 
элементов, где
(П7.1.1)
Определитель можно представить в виде
. (П7.1.2)
П7.1.2. Два полезных интеграла
Пусть 
— положительно
определенная квадратичная форма от 
из 
элементов, так что 
, где 
, и пусть 
и 
— положительные
действительные числа. Тогда можно показать, что
, (П7.1.3)
где -кратный интеграл берется по всему
пространству 
возможных
и
, (П7.1.4)
где функция 
называется 
-распределением с и степенями свободы и
определена как
. (П7.1.5)
Если 
, то
,
и, обозначив 
, получаем из (П7.1.4)
, (П7.1.6)
где функция 
называется 
-распределением с степенями свободы и
определена как
. (П7.1.7)
Здесь и далее 
используется как общее обозначение
для функции плотности вероятности случайной величины .
П7.1.3. Нормальное распределение
Говорят, что
случайная величина распределена нормально со средним 
и стандартным
отклонением 
или
имеет распределение 
, если ее плотность вероятности равна
. (П7.1.8)
Отсюда нормированная величина 
имеет распределение
. Табл. Е
в конце книги дает ординаты 
и значения 
, для которых 
для заданного 
.
Многомерное
нормальное распределение. Говорят, что векторная случайная величина 
имеет совместное 
-мерное нормальное
распределение 
,
если плотность вероятности равна
. (П7.1.9)
Изоповерхности плотности вероятности —
эллипсоиды, определяемые уравнениями 
.
Рис. П7.1.
Изолинии двумерного нормального распределения (1); там же показаны маргинальное
распределение 
(2)
и условие распределение 
при 
(3).
В качестве
иллюстрации на рис. П7.1 показаны эллиптические изолинии для двумерного
нормального распределения.
В точке 
многомерное
распределение имеет максимальную плотность вероятности
.
Распределение как вероятность
непопадания в область, ограниченную изоповерхностью многомерного нормального
распределения.
Для
-мерного
нормального распределения (П7.1.9) вероятность непопадания в область,
ограниченную поверхностью, заданной уравнением
,
равна - интегралу с степенями свободы
,
где плотность -распределения определена
формулой (П7.1.7). В табл. F в конце книги приведены значения 
, для которых при
заданном 
.
Маргинальные и
условные распределения для многомерного нормального распределения. Положим, что вектор
из 
случайных
величин разбит на две части после -го элемента, так что 
и матрица
ковариаций имеет вид
.
Тогда, пользуясь (П7.1.1) и (П7.1.2),
можно записать многомерное нормальное распределение для величин как маргинальное распределение
,
умноженное на условное распределение 
при данном т. е.
(П7.1.10)
где
(П7.1.11)
и 
определяет гиперплоскость регрессии в 
-мерном
пространстве, которая прослеживает точку среднего значения элементов , в то время как элементов изменяются. Матрица
коэффициентов регрессии размером 
определяется формулой 
.
Как
маргинальное, так и условное распределения для многомерного нормального закона
сами являются многомерными нормальными распределениями. Видно, что для многомерного
нормального распределения условное распределение 
с точностью до сдвига сохраняется при
любом .
Одномерные
маргинальные плотности. В
частности, маргинальная плотность для одного элемента 
равна 
— одномерной нормальной
плотности со средним значением, равным 
-му элементу , и дисперсией, равной -му диагональному
элементу 
.
Двумерное
нормальное распределение. В качестве примера на рис. П7.1 показаны
маргинальное и условное распределения для двумерного нормального распределения.
В этом случае маргинальное распределение , есть 
, а условное распределение при данном равно
,
где 
- коэффициент корреляции между и .
П7.1.4. Распределение Стьюдента
Говорят, что
случайная величина имеет нормированное 
-распределение Стьюдента 
со средним
значением ,
нормирующим параметром 
и 
степенями свободы, если
. (П7.1.12)
Отсюда стандартное -отклонение 
имеет распределение
. В табл. G в конце книги
приведены значения 
, для которых при заданном 
.
Переход к
нормальному распределению. Для больших произведение
стремится к единице, в то время как
крайний справа множитель в (П7.1.12) стремится к 
. Поэтому если мы для больших примем 
, то -распределение
стремится к нормальному распределению (П7.1.8).
Многомерное -распределение. Пусть 
будет вектором 
размером 
и 
— положительно
определенной матрицей размером 
. Говорят, что векторная случайная
величина [68,
69] имеет нормированное -распределение 
с вектором средних значений , нормирующей
матрицей и
степенями
свободы, если
. (П7.1.13)
Изоповерхности плотности вероятности
многомерного -распределения
— эллипсоиды, определяемые уравнением
.
Переход к
многомерному нормальному распределению. Для больших произведение
стремится к единице; крайняя правая
скобка в (П7.1.13) стремится к 
. Отсюда, если для больших примем 
, многомерное -распределение
стремится к многомерному нормальному распределению (П7.1.9).
F-распределение
как вероятность непопадания в область, ограниченную изоповерхностью
многомерного -распределения. Пользуясь
(П7.1.4), можно выразить вероятность непопадания в область, ограниченную
изоповерхностью -мерного
-распределения
, заданную
уравнением
,
как -интеграл с и степенями свободы
,
где функция плотности для определена формулой
(П7.1.5). Для больших 
, где 
. Отсюда, как и следовало ожидать,
вероятность непопадания в область, ограниченную заданной изоповерхностью -распределения, для
больших равна
аналогичной вероятности для многомерного нормального распределения, к которому
стремится многомерное - распределение.
Маргинальное -распределение. Если - мерный вектор , распределенный,
согласно уравнению (П7.1.13), разбить на две части после -го элемента, так что 
, и разбить подобным образом,
получим
.
Обозначив
получим
Используя теперь предварительный
результат (П7.1.3) с
получим
(П7.1.14)
Итак, если -мерный вектор имеет многомерное -распределение
(П7.1.13), маргинальное распределение любых переменных, образующих вектор — это - мерное -распределение 
.
Одномерные
маргинальные плотности. В частности, маргинальное распределение для одного
элемента 
будет
—
одномерное -распределение
со средним значением, равным -му элементу , нормирующим множителем,
равным положительному значению квадратного корня из -го диагонального элемента , и степенями свободы.
Условное -распределение. Условное
распределение можно
получить как отношение совместного распределения 
и маргинального распределения 
:
.
Поделив, получаем
(П7.1.15)
где 
(для данного 
— это фиксированная
константа) равно
. (П7.1.16)
Тогда распределение при данном - многомерное -распределение:
,
где 
.
Двумерное -распределение. Как и раньше,
некоторое представление об общей многомерной ситуации можно получить, изучив
двумерное распределение . Диаграммное представление,
аналогичное показанному на рис. П7.1, на первый взгляд подобно двумерному
нормальному распределению. Однако маргинальные распределения — это одномерные -распределения,
имеющие степеней
свободы, в то время как условные распределения — это -распределения с 
степенями свободы.
Далее нормирующий множитель для условного распределения , например, зависит от . Это — явное
отличие от условного распределения для нормального случая, где дисперсия не
зависит от .
