Приложение П6.2. Общий метод получения начальных оценок параметров смешанного процесса авторегрессии – скользящего среднего
В
разд. 6.3 было показано, как получить начальные оценки для параметров простых
моделей АРСС. В частности, в конце книги в сборнике таблиц и диаграмм приведены
диаграммы
,
и
, позволяющие быстро
получить начальные оценки для процессов
,
и
. В настоящем приложении будет описан
пригодный для программирования общий метод получения начальных оценок процесса
.
Соответствующая программа для ЭВМ описана под заголовком «Программа 2» в
сборнике программ в конце этой книги.
В
общем случае вычисление начальных оценок процесса
основано на первых
автоковариациях
от
и проводится в 3
этапа.
1) Параметры авторегрессии
оцениваются по автоковариациям
.
2) На базе оценок
, найденных в (1), вычисляются первые
автоковариации
полученного ряда
.
3) Наконец,
автоковариации
используются
при итеративном расчете начальных оценок параметров скользящего среднего
и остаточной
дисперсии
.
Начальные
оценки параметров авторегрессии. Пользуясь результатом (3.4.3), можно получить
начальные оценки параметров авторегрессии, решив
линейных уравнений
(П6.2.1)
Автоковариации
найденного процесса скользящего среднего. Обозначим теперь
и будем
анализировать этот процесс как процесс скользящего среднего
. (П6.2.2)
Прежде всего
необходимо выразить автоковариации
процесса
через автоковариации
процесса
. Можно показать,
что
, (П6.2.3)
где
Начальные
оценки параметров скользящего среднего. Пользуясь оценками автоковариации
можно получить
начальные оценки параметров скользящего среднего в найденном процессе (П6.2.2)
при помощи какого-либо одного из двух итеративных процессов.
1.
Линейно-сходящийся процесс. Из выражений
для
автоковариационной функции процесса
, приведенных в разд. 3.3.2, можно
найти оценки параметров
в том точно порядке, как здесь
указано, при помощи итераций
(П6.2.4)
с условием, что
. Параметры
приравниваются нулю
в начале итеративной процедуры; значения
и
, используемые в любом цикле вычисления,
— это последние из доступных оценок этих величин. Например, в случае
уравнения (П6.2.4)
имеют вид
2. Квадратически
сходящийся процесс. Алгоритм Ньютона-Рафсона, обладающий более быстрой
сходимостью, чем метод (1), был предложен Вилсоном [55]. Обозначим
где
(П6.2.5)
Тогда, если
— оценка
, полученная в
результате
-й
итерации, новые значения в результате
-й итерации будут получены из формулы
, (П6.2.6)
где
и
.
Имея значения
для каждой
итерации, можно получить значения параметров из (П6.2.5).
Пример.
Рассмотрим оценивание
и
в модели АРСС
,
используя
значения
,
соответствующие процессу с
и
. Оценка
получена подстановкой
в (П6.2.1), в
результате которой
,
так что
. Отсюда, пользуясь
(П6.2.3), находим, что две первые ковариации ряда
равны
Таблица П6.1. Сходимость
предварительных оценок
и
для процесса СС (1)
Итерация
|
Метод
(1)
|
Метод (2)
|
|
|
|
|
|
0
1
2
3
4
5
6
7
8
|
—
1,250
1,077
1,029
1,011
1,004
1,002
1,001
1,000
|
0,000
0,400
0,464
0,486
0,494
0,498
0,499
0,500
0,500
|
1,250
2,250
1,210
1,012
1,000
—
—
—
—
|
0,0000
0,667
0,545
0,503
0,500
—
—
—
—
|
Подставляя эти
значения в (П6.2.4), находим формулы, на которых основан итеративный процесс
(1):
Аналогично,
подставляя их в (П6.2.6), получаем формулы, на которых основан итеративный
процесс (2):
,
где
и
.
Дисперсия
и
могут быть теперь
вычислены по формулам
.
Табл.
П6.1 показывает, как сходятся итерации методами (1) и (2). Программа 2 в
сборнике программ в конце книги может быть использована для вычисления
начальных оценок параметров любого процесса
.