4.3.2. Процесс проинтегрированного скользящего среднего порядка (0.2.2)
Представление
разностным уравнением. Процесс
(4.3.11)
весьма
удобен для описания рядов, имеющих стохастический тренд (например, на рис.
4.6), и мы исследуем теперь его общие свойства внутри диапазона обратимости
Как
и ранее, можно явно выразить 
через предшествующие
и 
:
Представление модели через случайные
импульсы.
Для того чтобы выразить через , мы должны
представить оператор в правой части в разностном виде:
Приравнивая коэффициенты, найдем выражения для 
через 
и наоборот, а именно
(4.3.12)
Модель
(4.3.11) можно тогда записать в виде
(4.3.13)
Дважды
суммируя (4.3.13), получаем
(4.3.14)
так что веса 
для этого процесса оказываются
равными
Рис. 4.8. Область обратимости для параметров 
и 
процесса ПСС (0,2,2).
Важное
преимущество использования для рассматриваемой модели выражений (4.3.13) или (4.3.14)
по сравнению с (4.3.11) становится очевидным, если положить в (4.3.13) 
Тогда
что
соответствует процессу (0, 1, 1) с 
Однако, если мы положим в (4.3.11) 
, получаем
Далее,
в гл 5, будет показано, что для рядов, генерируемых процессом (0, 2, 2),
оптимальные прогнозы лежат вдоль прямой линии, уровень и наклон которой
непрерывно подправляются по мере поступления новых данных. Напротив, ряд,
генерируемый процессом (0,1,1), может давать информацию только для непрерывного
подправления уровня, а не наклона. Во многих случаях весьма важно, можно ли
предсказать и подправить линейный тренд и уровень. Если необходимо сделать
выбор в пользу одной из этих моделей, то вопрос сводится к тому, равно или не
равно нулю в
(4.3.14).
Область обратимости для ПСС(0, 2, 2) та же, что и
для СС(2) в гл 3. Она может быть определена в координатах или как
(4.3.15)
Треугольная область для была показана на рис. 3.8;
соответствующая область для показана на рис. 4.8.
Усеченная форма представления модели
через случайные импульсы. При помощи (4.3.14) усеченная формула
для модели (4.2.17) может быть представлена в виде
(4.3.16)
где
функция 
— общее решение
однородного уравнения
т.
е.
и
является полиномом от 
первой степени с коэффициентами,
зависящими от положения начала отсчета 
.
В приложении П4.3 показано, что эта функция может
быть явно выражена через :
(4.3.17)
так
что
Из
рассмотрения разностей 
и 
следует, что если начало отсчета
перенесено из 
в
, то 
и 
корректируются
согласно формулам
(4.3.18)
Мы
видим, что если эта модель подходит для описания процесса, математическое
ожидание будущего поведения ряда по данным, доступным к моменту, представляется
прямой линией (4.3.17) с начальным положением 
и наклоном 
Фактически в
момент времени 
процесс
отклонится от этой линии из-за влияния случайной компоненты
непредсказуемой
в момент времени .
Далее, при переносе начала отсчета из в данные о начальном положении и наклоне
прямой должны быть скорректированы, согласно (4.3.18).
Обращенное представление модели. Наконец,
рассмотрим модель в обращенном представлении
Пользуясь
(4.2.22) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 
в
находим,
что 
-веса
процесса ПСС(0, 2, 2) равны
(4.3.19)
где действует на 
.
Если
корни характеристического уравнения 
действительны, -веса предшествующих являются
наложением двух затухающих экспонент. Если корни комплексные, веса ведут себя,
как затухающая синусоида. На рис. 4.9 показаны веса для процесса при 
и 
(соответственно при 
и 
).
Рис. 4.9. Веса процесса ПСС(0,2,2)
с , 
Из рис. 3.9 и 4.8 видно, что при этих значениях
коэффициентов характеристическое уравнение имеет комплексные корни (так как его
дискриминант 
).
Отсюда веса на рис. 4.9 должны вести себя как значения затухающей синусоиды,
как это и происходит на самом деле.
