7.1.3. Выбор начальных значений для вычисления условного правдоподобия

Рассмотрим вкратце способ расчета безусловного правдоподобия, которое в сущности и необходимо для оценивания параметров.

В ряде случаев, когда  не мало, достаточно хорошим приближением к безусловной функции правдоподобия является условная функция правдоподобия, в которой вместо элементов  и  в (7.1.3) подставлены подходящие численные значения. Один из способов — приравнять элементы  и  их безусловным математическим ожиданиям. Безусловные математические ожидания элементов  — нули, и если модель не содержит детерминированной части (в частности, при ), безусловные математические ожидания  также будут равны нулю). Однако это приближение оказывается плохим, если некоторые корни  близки к единичной окружности, т. е. процесс приближается к нестационарному. В этом случае начальное значение данных  может значительно отклоняться от его безусловного математического ожидания, и введение начальных значений этого типа создаст переходный процесс большой амплитуды, который будет медленно затухать. При подгонке модели порядка  мы будем иногда пользоваться более надежной процедурой аппроксимации. Она сводится к вычислению , начиная с  и приравниванию предварительно предыдущих  нулю. Таким образом, фактически имеющиеся значения полностью использованы для вычисления .

Этим способом мы можем вычислить сумму квадратов только для  значений ряда  но для длинного ряда небольшая потеря информации несущественна. В случаях, когда авторегрессионных членов не имеется, две описанные методики эквивалентны. Для сезонных рядов, рассмотренных в гл. 9, условная аппроксимация не дает удовлетворительных результатов, и вычисление безусловного правдоподобия особенно необходимо.

Проиллюстрируем теперь на простом примере рекуррентный расчет условных сумм квадратов .

Вычисление условной суммы квадратов для процесса . Ряд  был пробно идентифицирован в табл. 6.4 как процесс ПСС (0,1,1)

,                                                           (7.1.4)

т. е.

,

где  и . Нужно напомнить, что в гл. 6 была получена предварительная оценка методом моментов, из которой следовало, что для этих данных  близко к нулю.

Вычисление нескольких первых  было проведено в табл. 7.1 для частного значения параметра . Элементы  вычислялись рекуррентным образом по формуле  с точностью до одного знака после запятой. В соответствии со сказанным выше, чтобы начать процесс вычислений,  приравнивалось нулю. Это значение показано курсивом. Продолжая вычисления указанным путем, мы нашли, что

.

Таблица 7.1. Рекуррентный расчет   для  первых  10  значений ряда  при

Рекуррентный расчет особенно удобен для реализации на ЭВМ. Перебирая значения  от  до  с шагом , мы вычисляли значения условной суммы квадратов  (при условии ); результаты показаны в 3-й строке табл. 7.2.

Таблица 7.2. Сумма квадратов для модели  подгоняемой к ряду