7.3.5. Избыточность параметров
Модель
идентична модели
,
в которой операторы авторегрессии и
скользящего среднего умножены на один и тот же множитель 
. Значительные трудности в
процедуре оценивания могут быть вызваны тем фактом, что подгоняется модель с
избыточным (лишним) множителем. Поэтому требуется позаботиться о том, чтобы в
модели не появлялись избыточные или почти избыточные множители. Например, общий
множитель в модели 
можно увидеть только после разложения
левой части на множители
,
что приводит к
.
На практике
трудности вызывает не только наличие одинаковых множителей в обеих частях
уравнения, но и ситуация, когда имеются почти одинаковые множители. Например,
пусть истинная модель была
. (7.3.15)
Если делается попытка подогнать эту
модель, можно ожидать крайнюю нестабильность в оценках параметров из-за
близости множителей 
и 
по разные стороны (7.3.15). В этой
ситуации можно найти комбинации значений параметров, дающих близкие 
и, следовательно,
близкие значения правдоподобия; изменение значений параметра слева почти
компенсируется соответствующим изменением параметра справа. Поверхность суммы
квадратов в трехмерном пространстве параметров будет сходна с
косоцилиндрической, и вместо четко определенного минимума будет найдена линия
«почти наименьших квадратов».
С несколько иной
точки зрения мы можем представить модель (7.3.15) в виде бесконечного оператора
авторегрессии. Применяя необходимые разложения, находим
.
Итак, модель весьма аккуратно
описывается как
. (7.3.16)
Нестабильность оценок, полученных при
попытке подогнать модель , возникает потому, что мы пытались
подогнать три параметра в ситуации, где почти достаточно одного.
Предварительная
идентификация как средство избежать избыточности параметров. Главная цель
применения идентификационной процедуры перед подгонкой модели — избежать трудностей,
возникающих из-за избыточности параметров, или, в более позитивном смысле,
достичь экономичности параметризации. Так, в только что рассмотренном примере
для временного ряда в несколько сотен наблюдений выборочная автокорреляционная
функция по данным, генерируемым моделью (7.3.15), была бы неотличима от
генерируемой простым процессом авторегрессии (7.3 16).
Это привело бы
нас к подгонке процесса 
, в нормальной ситуации полностью
адекватного наблюдениям. Только для временного ряда в несколько тысяч
наблюдений может потребоваться более сложная модель, и имеющейся информации
окажется достаточно для получения надежных оценок дополнительных параметров.
Избыточность
процесса APCC(1,1). Простейший процесс, в котором
возникает возможность прямого сокращения множителя, — это процесс 
.
.
В
частности, если 
,
то, каковы бы они ни были,
,
и это означает, что 
генерируется белым шумом.
Данные не содержат информации об общих параметрах, и в соответствии с (7.3.11) 
и 
имеют бесконечную
дисперсию. Далее, при любых значениях 
и 
— константа на прямой 
, как это видно на
карте рельефа суммы квадратов для ряда А, показанной на рис. 7.9. Для этих
данных значения оценок наименьших квадратов 
соответствуют точке, которая не
слишком близка к прямой , и в оценке этих параметров трудностей
не возникает.
Рисунок 7.9
Изолинии суммы квадратов для ряда А.
На практике,
если принять рекомендуемую нами методику идентификации, трудностей, связанных с
избыточностью, можно избежать. Процесс , у которого почти равно 
, в нормальной
ситуации будет идентифицирован как белый шум или, если различие заметно, как
процесс или
с одним
небольшим коэффициентом. В итоге
1) следует
избегать смешанных процессов, содержащих почти одинаковые множители, и помнить
о трудностях, которые могут возникнуть, если такие множители имеются;
2) такие
процессы будут исключаться автоматически, если разумно пользоваться процедурами
идентификации и оценивания.
