4.2.3. Обращенное представление модели

Модель, выражающая  через  и предшествующие . В разд. 3.1.1 было показано, что модель

можно записать также в обращенной форме:

или

                                                                           (4.2.20)

Здесь  равно бесконечной взвешенной сумме предыдущих значений  плюс случайный импульс, т. е.

Согласно условию обратимости, веса  в (4.2.20) должны образовывать сходящийся ряд, т. е.  должно сходиться на единичной окружности или внутри нее.

Общее выражение для весов . Чтобы вывести формулу для весов  общей модели АРПСС, мы подставим (4.2.20) в уравнение

и получим

.

Отсюда веса  могут быть явно выражены приравниванием коэффициентов при  в левой и правой частях уравнения

                     (                                                      (4.2.21)

или, в развернутом виде,

            (4.2.22)

Нужно отметить, что для , больших чем  и ,  т. е. для таких, что

                              если

                                 если   

веса  удовлетворяют разностному уравнению, определяемому оператором скользящего среднего

где  действует теперь на . Отсюда для достаточно больших  веса  будут вести себя сходно с автокорреляционной функцией (3.2.5) процесса авторегрессии, т.е. состоять из суммы затухающих экспонент и затухающих синусоид.

Другой интересный факт заключается в том, что при  веса  в (4.2.20) в сумме равны 1. Это можно проверить, подставив в (4.2.21) значение . Поскольку  равно нулю при , то , так как корни уравнения  лежат вне единичного круга. Тогда из (4.2.21) следует, что  и

                                                                                                 (4.2.23)

Поэтому при  процесс можно представить в форме

                                                                                       (4.2.24)

где

— взвешенное среднее предыдущих значений процесса. Пример. Рассмотрим опять в качестве примера процесс АРПСС(1, 1, 1)

 Тогда, пользуясь (4.2.21), получим

так что

Первые семь весов , соответствующие и , приведены в табл. 4.3. Итак, -е значение процесса может быть найдено как взвешенное среднее предшествующих значений плюс дополнительный импульс по формуле

.

Таблица 4.3. Первые семь весов процесса АРПСС (1,1,1) при

Отметим, в частности, что веса  уменьшаются для удаляющихся значений . Это свойство является следствием требования обратимости ряда, которое в данном случае равносильно требованию . Кстати, заметим, что для статистических моделей, описывающих практически встречающиеся временные ряды, сходящиеся веса обычно сравнительно быстро убывают до нуля. Поэтому, хотя  теоретически зависит от отдаленного прошлого, представление

обычно показывает, что  существенно зависит только от сравнительно недавних предшествующих значений временного ряда . Это остается справедливым, несмотря на то что для нестационарных моделей с веса  в представлении процесса в виде «взвешенных импульсов»

не сходятся. Это связано с тем, что вся информация , поставляемая значениями давно возникших импульсов содержится в недавних значениях ряда . В частности, условное математическое ожидание , теоретически определяемое через все значения процесса вплоть до момента , может быть достаточно точно вычислено по нескольким недавним значениям временного ряда. Этот факт особенно важен при практическом прогнозировании.