Приложение П7.3. Примеры влияния ошибок оценивания параметров на вероятностные пределы прогнозов

Дисперсии и вероятностные пределы для прогнозов, указанные в разд. 5.2.4, основывались на предположении, что параметры  модели АРПСС известны точно. На практике их необходимо заменять выборочными оценками . Для того чтобы получить некоторое представление о влиянии ошибок оценивания на дисперсию ошибок прогноза, мы рассмотрим частный случай нестационарного процесса  и стационарного процесса . Будет показано, что для этих процессов в случае, когда оценки параметров основаны на рядах не слишком малой длины, эффект ошибок оценивания мал.

Процессы ПСС(0,1,1). Записав выражения  для  и сложив их, получим

.

Обозначим через  прогноз с упреждением  в случае, когда параметр  известен точно. Взяв условные математические ожидания в момент  для , получим

.

Отсюда ошибка прогноза с упреждением  равна

,

и дисперсия ошибки этого прогноза имеет вид

,                   (П7.3.1)

где .

Однако если заменить  ее выборочной оценкой , полученной по ряду из  наблюдений , то

,

где . Отсюда ошибка прогноза с упреждением , использующего , будет

.      (П7.3.2)

Так как , отсюда следует, что

,

и, исключая из (П7.3.2) , получим

.

Далее,

          (П7.3.3)

В предположении, что прогноз и оценка  по существу основаны на непересекающихся данных,  и  будут независимы. Кроме того, для не слишком малых выборок  приближенно нормально распределено относительно среднего значения  с дисперсией . При этом можно показать, что дисперсия выражения (П7.3.3) имеет вид

.

При условии, что  не слишком близко к единице,

.                                 (П7.3.4)

Ясно, что пропорциональное изменение дисперсии будет наибольшим для , когда точная ошибка прогноза уменьшается до . В этом случае для выборочных оценок параметров, основанных на не слишком коротких рядах, вероятностные пределы увеличиваются в  раз.

Процессы авторегрессии первого порядка. Записав выражения для модели  для момента  и перейдя к условным математическим ожиданиям в момент , получаем прогноз с упреждением , основанный на точном значении параметра,

.

Аналогично

,

и, следовательно,

.

Отсюда следует, что

,

так что в среднем с учетом (5.4.16)

.                             (П7.3.5)

Когда ,

.                         (П7.3.6)

Для  имеем

.

Итак, в среднем

,

и различие опять порядка .