Приложение П4.4. Процессы АРПСС с добавленным шумом
В этом приложении мы рассмотрим эффект добавления к
общему процессу АРПСС(p, d, q) шума (например,
ошибок измерений).
П4.4.1. Сумма двух независимых процессов скользящего среднего
В качестве необходимого введения ниже нам
понадобится следующий факт. Рассмотрим стохастический процесс 
являющийся
суммой двух независимых процессов скользящего среднего порядков 
и
соответственно:
(П4.4.1)
где
и 
— полиномы от 
порядка и процессы 
и 
— взаимно
независимые белые шумы с нулевыми средними значениями.
Обозначим 
; ясно, что автоковариационная
функция 
процесса
должна
быть равна нулю при 
. Отсюда следует, что существует
представление 
как
единого процесса скользящего среднего порядка 
(П4.4.2)
где процесс 
— белый шум с нулевым средним значением.
Итак, сумма двух независимых процессов скользящего
среднего — это еще один процесс скользящего среднего, порядок которого
совпадает с максимальным порядком слагаемых процессов.
П4.4.2. Эффект добавления шума к общей модели
Коррелированный шум. Рассмотрим
общую нестационарную модель порядка 
(П4.4.3)
Предположим,
что мы не можем наблюдать 
в чистом виде,
а только 
,
где представляет
собой некоторый внешний шум (например, измерительную ошибку) и может быть
коррелирован. Мы хотим определить природу наблюдаемого процесса 
.
В общем случае
мы имеем
Если
шум является стационарным процессом АРСС порядка 
(П4.4.4)
где
процесс —
белый шум, независимый от процесса , то
(П4.4.5)
где
выражения под скобками показывают степени различных полиномов от . Правая часть
(П4.4.5) имеет теперь форму (П4.4.1). Пусть 
и 
равно большему
из чисел 
и
. Тогда
можно записать
где
— белый
шум, -
процесс порядка 
.
Белый шум. Если, как это
может оказаться в некоторых приложениях, добавленный шум белый, тогда в
(П4.4.4) 
и
мы получаем
(П4.4.6)
при
имеющем
порядок 
, где —
наибольшее из и
. Если 
, порядок процесса
с шумом тот же, что у первоначального процесса. Единственный эффект
дополнительного белого шума — изменение значений 
(но не 
).
Эффект
добавления белого шума к процессу проинтегрированного скользящего среднего. В частности,
процесс ПСС порядка 
с добавленным белым шумом
остается процессом того же порядка, если 
; впротивном случае он становится
процессом ПСС порядка 
. В любом случае параметры процесса
изменяются при добавлении шума. Природа этих изменений может быть выяснена
приравниванием автоковариациям процесса с добавленным шумом автоковариациям
простого процесса ПСС. Пример такой процедуры приводится ниже.
П4.4.3. Пример процесса ПСС (0,1,1) с добавленным белым шумом
Рассмотрим
свойства процесса ,
когда
(П4.4.7)
и
и
—
взаимно независимые процессы типа белого шума. Процесс имеет
первую разность 
вида
(П4.4.8)
Автоковариации для первых разностей 
имеют вид
(П4.4.9)
Тот
факт, что все кроме
первого, равны нулю, подтверждает, что процесс с добавленным к нему шумом
является, как и ожидалось, процессом ПСС порядка (0,1,1). Для того чтобы явно
выписать параметры этого процесса, предположим, что он может быть представлен в
виде
(П4.4.10)
где
процесс —
белый шум. Процесс (П4.4.10) имеет автоковариации
(П4.4.11)
Приравнивая
(П4.4.9) и (П4.4.11), мы можем найти явные выражения для 
и 
. Отсюда
(П4.4.12)
Положим, например, что первоначальный ряд имеет 
и 
, тогда 
и 
.
П4.4.4. Связь между процессом ПСС (0,1,1) и случайным блужданием
Процесс
(П4.4.13)
который
является процессом ПСС(0, 1, 1) с 
, иногда называется случайным
блужданием. Если — шаги,
сделанные вперед или назад в момент времени 
, тогда представляет положение блуждающего
объекта в момент .
Любой процесс ПСС(0, 1, 1) можно трактовать как
случайное блуждание, скрытое в белом шуме который не коррелирован с
прошлыми импульсами . Если обозначить «зашумленный»
процесс ,
где определено
(П4.4.13), то, используя (П4.4.12), получим
где
(П4.4.14)
П4.4.5. Автоковариационная функция общей модели с добавленным коррелированным шумом
Предположим, что основной процесс типа АРПСС порядка
и
что наблюдается процесс , где — стационарный
процесс с автоковариационной функцией 
, независимый от процесса и,
следовательно, от . Пусть 
— автоковариационная
функция для 
, и пусть 
. Мы хотим найти
автоковариационную функцию для .
Имеем
где
Отсюда
и,
следовательно,
(П4.4.15)
В качестве примера рассмотрим случай, когда
коррелированный шум добавлен к процессу
ПСС(0, 1, 1), определенному как 
. Тогда автоковариации первых
разностей «зашумленного
процесса» будут
В
частности, если —
процесс авторегрессии первого порядка, т. е.
то
Согласно
(П4.4.5), результирующий «зашумленный» процесс в этом случае определен как
т. е. имеет
порядок (1, 1, 2).
