3.3.3. Процесс скользящего среднего первого порядка

Мы уже встречались с этим процессом, записанным в форме

.

В разд. 3.1.3 было показано, что для обратимости процесса необходимо, чтобы  находилось в диапазоне . Процесс стационарен, конечно, для любых .

Автокорреляционная функция. Используя (3.3.3), получим выражение для дисперсии процесса

и из (3.3.4) - выражение для автокорреляционной функции

               (3.3.6)

Из (3.3.6) для находим

.                      (3.3.7)

Так как произведение корней есть единица, видно, что если - решение, то и - тоже решение. Далее если  удовлетворяет условию обратимости , то другой корень  больше, чем единица, и этому условию не удовлетворяет. Например, если , (3.3.7) имеет два решения:  и , но только решение  обеспечивает обратимость процесса. Табл. А в сборнике таблиц и диаграмм в конце книги дает соответствующие обратимому процессу значения  во всем диапазоне возможных значений  .

Спектр. Согласно (3.3.5), спектр процесса имеет вид

      (3.3.8)

В общем, когда  отрицательно, то  положительно и в спектре доминируют низкие частоты. Напротив, при  положительном  отрицательно, и в спектре доминируют высокие частоты.

Частная автокорреляционная функция. Из системы (3.2.31) при  и  для  после ряда алгебраических преобразований можно получить

.

Таким образом, , и в частной автокорреляционной функции преобладающим членом является затухающая экспонента. Если  положительно и, следовательно,  отрицательно, частная автокорреляционная функция осциллирует с переменами знака. Если же  отрицательно и, следовательно,  положительно, все значения частотной автокорреляции отрицательны.

Отметим теперь взаимность процессов АР(1) и СС(1). В то время как автокорреляционная функция процесса СС(1) обрывается после задержки 1, автокорреляционная функция процесса АР(1) экспоненциально затухает с ростом задержки. Обратно, в то время как частная корреляционная функция процесса СС(1) затухает имеет доминирующим членом затухающую экспоненту, частная автокорреляционная функция процесса АР(1) обрывается после задержки 1. Оказывается, что аналогичная приближенная взаимность имеет место и в общем случае.