7.1.5. Общий способ вычисления безусловной суммы квадратов

В примере, приведенном выше,  был процессом скользящего среднего первого порядка с нулевым средним значением. Оказалось, что все прогнозы для упреждений больше 1 равны нулю, и, следовательно, только одно предварительное значение (прогноз назад ) было необходимо для начала рекуррентных вычислений. Для процесса скользящего среднего -го порядка были бы необходимы  ненулевых предварительных значений . Для оценки параметров авторегрессии имеются специальные способы, которые мы рассмотрим позже, в разд. 7.3.1. Однако в приложении П7.4 будет показано, что описываемая здесь процедура позволяет вычислять безусловные суммы квадратов для любой модели АРПСС с любой требуемой точностью аппроксимации.

Конкретнее, положим, что  генерируются стационарной прямой моделью

,                                                                           (7.1.9)

где  и . Тогда они с равным успехом могли бы генерироваться возвратной моделью

,                                                                        (7.1.10)

Как и ранее, мы сначала используем (7.1.10) для получения прогнозов назад . Теоретически присутствие оператора авторегрессии обеспечивает бесконечно протяженный ряд таких оценок. Однако из-за стационарного характера этого оператора на практике оценки  в некоторый момент  (где  невелико) и для  практически равны нулю.

Тогда с достаточной точностью можно записать

.

Это означает, что первоначальный смешанный процесс может быть заменен процессом скользящего среднего порядка , и для этого можно использовать способ, описанный в разд. 7.1.4. В общем двойной набор уравнений для вычисления условных ожиданий  получен взятием условных ожиданий от обеих частей (7.1.10) и (7.1.9), т. е. из уравнений

                                                                                 (7.1.11)

находим прогнозы назад и затем из уравнений

                                                                                 (7.1.12)

вычисляем . Если мы найдем, что прогнозы для времен упреждений, больших некоторого , становятся пренебрежимо малыми, можно начинать рекуррентный расчет вперед по формулам

                                             (7.1.13)

Вычисление безусловной суммы квадратов для смешанного процесса авторегрессии — скользящего среднего. В качестве примера рассмотрим следующие  последовательных значений :

Положим, что мы хотим вычислить безусловную сумму квадратов , относящуюся к процессу АРПСС ,

,

где  или, что то  же самое, к возвратному процессу

в предположении, что среднее значение  равно нулю.

Конечно, оценки, базирующиеся на 12 наблюдениях, не имеют почти никакой ценности, но тем не менее этот короткий ряд послужит для объяснения природы вычислений. Проиллюстрируем это для значений параметров . Тогда (7.1.11)  и (7.1.12) можно записать в виде

,                                         (7.1.14)

,                                        (7.1.15)

где .

Схема вычислений показана в табл. 7.4. Сначала в центральный столбец вносятся данные, затем в последний столбец вносятся нулевые значения для  Возвратное уравнение (7 1.14) начинает использоваться точно таким же образом, как описано в разд. 7.13 для расчета условных величин. Из-за того что в модели имеется оператор авторегрессии первого порядка, мы начинаем в одном шаге от конца ряда и подставляем  в строчку  вместо неизвестного значения . Рекуррентный расчет ведется вперед при помощи (7.1.14). В табл. 7.4 и 7.5 данные приведены с точностью до одного знака после запятой; расчеты велись с точностью до двух знаков. Прогнозы назад  быстро затухают и при нашей точности вычислений равны нулю для . На основании (7.1.13) оценки  принимаются равными нулю для . Рекуррентный расчет вперед ведется по формуле (7.1.15); вычисляются .

Безусловная сумма квадратов  находится суммированием квадратов всех вычисленных . Отсюда

.

На практике второй итеративный цикл не нужен почти никогда. Однако, чтобы показать быструю сходимость этого процесса даже для нереально короткого ряда из 12 наблюдений в табл. 7.5 был проведен второй цикл итераций. В нем значение , найденное в предыдущей итерации, использовалось для начала новой итерации при вычислении прогнозов  вперед по (7.1.15). Полученные величины подставлялись в возвратные уравнения (7.1.14) для получения новых прогнозов назад . В общем для второго цикла вычислений мы используем соотношения

                                                              (7.1.16)

где  выбрано так, что  пренебрежимо мало при . В табл. 7.5 показано, что второй цикл вычисления приводит к , что совпадает со значением, полученным в первом цикле. Поэтому дальнейшее вычисление  будет давать те же результаты, что и ранее.

Таблица 7.4. Вычисление  и  по  значениям ряда, предположительно генерируемого процессом

Таблица 7.5. Вторая итерация вычислений, начатых в табл. 7.4

Далее, как следует из приложения П7.4,  также быть может вычислено по сумме квадратов . Пользуясь этим, из табл. 7.5 находим, что

,

что близко согласуется с величиной 89,2, найденной по .

Мы видели, что при подгонке к ряду  стоимости акций IВМ процесса порядка  условные суммы квадратов давали очень точное приближение к безусловным суммам. Что это не всегда верно, можно увидеть из данного примера.

Ранее, в разд. 7.1.3, упоминалось о двух условных суммах квадратов, которые можно использовать как приближения к безусловным суммам. Они были получены

1) началом рекуррентного расчета с первого доступного наблюдения, приравниванием всех неизвестных  или  нулю и всех  их безусловным математическим ожиданиям;

2) началом рекуррентного счета с -го наблюдения при использовании только наблюденных значений для  и нуля вместо неизвестных  или .

Две такие условные суммы квадратов и две безусловные суммы квадратов.

3) полученные из ,

4) полученные из , сравниваются ниже.

5) Неизвестные  и  приняты равными нулю:

.

6) Неизвестные  приняты равными нулю:

.

7) Расчет безусловных сумм, первая итерация:

.

8) Расчет безусловных сумм, вторая итерация:

.

Сумма квадратов в (1) — очень плохое приближение к (3) и (4), хотя расхождение, превышающее для этого ряда из 12 чисел 10%, уменьшилось бы при большей длине ряда. Это объясняется тем, что переходный эффект, вызванный выбором начальных значений, практически исчезает после . С другой стороны, когда учтено, что условная сумма в (2) основана на , а не на  квадратах величин, (2) дает лучшее приближение, чем (1). По уже обсуждавшимся причинам, если нужно пользоваться условным приближением, лучше брать его в форме (2), а не в форме (1). Однако, как будет показано в гл. 9, для сезонных рядов условная аппроксимация вообще неудовлетворительна, и следует, как правило, вычислять безусловную сумму квадратов.