3.1.3. Условия стационарности и обратимости линейного процесса
Стационарность. Сходимость
рядов (3.1.9) обеспечивает конечное значение дисперсии процесса. Мы видели
также в разд. 2.1.3, что автоковариации и автокорреляции должны удовлетворять
ряду условий, обеспечивающих стационарность. Для линейного процесса эти условия
могут быть объединены в одно, а именно, что ряд 
-производящая функция для весов 
- должен сходится при
, т. е. для
, лежащих
внутри или на единичной окружности. Этот результат обсуждается в приложении
П3.1.
Спектр линейного
стационарного процесса. В приложении П3.1 показано, что, если
мы подставим в
виде
, где 
, в производящую
функцию автоковариаций (3.1.11), то получим уменьшенный в 2 раза спектр
мощности. Отсюда спектр линейного процесса равен
, 
. (3.1.12)
В действительности (3.1.12) – хорошо
известное выражение [27], связывающее спектр 
выхода линейной системы с
равномерным спектром 
входного белого шума, умноженным на
квадрат коэффициента усиления системы 
.
Обратимость. Выше было
показано, что веса линейного
процесса, если он стационарен, налагаемые на веса 
, для получения свойства, называемого
«обратимостью». Условие обратимости не зависит от условий стационарности и
применимо также к нестационарным линейным моделям, которые мы введем в гл. 4.
Для иллюстрации
смысла понятия обратимости рассмотрим снова модель
. (3.1.13)
Выражая
через 
, получим из (3.1.13)
,
т.
е.
(3.1.14)
или
, (3.1.15)
и веса модели в форме (3.1.15) равны 
. При любом значении 
(3.1.13) описывает
обычный стационарный процесс. Однако, если 
, веса в разложении (3.1.14), выражающем
через
текущие и прошлые значения , образуют расходящийся ряд. Это
означает, что текущее отклонение 
в момент 
в (3.1.15) зависит от 
с весами, растущими
по мере роста 
.
Мы избегаем этой ситуации, требуя, чтобы веса 
в «обращенном» разложении (3.1.14)
образовывали сходящийся ряд, т. е. чтобы 
. В этом случае мы будем называть ряд обратимым.
Это условие будет, очевидно, выполняться, если ряд
сходится при , т. е. внутри или на
единичной окружности.
В гл. 6, где мы
рассмотрим вопрос о единственности этих моделей, мы увидим, что сходящееся
разложение для возможно
и в случае, когда ;
при этом вырождается
только через 
,
т. е. через настоящее и будущее значения процесса. Требование
обратимости необходимо, если мы заинтересованы в разумной связи текущих событий
с событиями в прошлом.
В общем,
линейный процесс
обратим, если веса таковы, что ряд 
сходится внутри или
на единичной окружности.
Подводя итоги,
отметим, что линейный процесс стационарен, если сходится внутри или на
единичной окружности, и обратим, если сходится в той же области.
