9.1.3. Общая мультипликативная модель сезонного ряда

Упрощающий оператор . Фундаментальным фактом, относящимся к сезонным временным рядам, является сходство наблюдений, разделенных интервалом . Следовательно, можно ожидать, что операция  будет играть особо важную роль в анализе сезонных рядов; далее, так как в ряде  можно ожидать нестационарности, может оказаться полезным упрощающий оператор . Устойчивый нестационарный оператор  имеет  нулей  равномерно распределенных на единичной окружности. Далее, эвентуальная прогнозирующая функция удовлетворяет уравнению  и поэтому может (но не обязана) быть представлена в виде набора синусоид и косинусоид

,

где  — подстраивающиеся коэффициенты и  для четных  для нечетных .

Мультипликативная модель. Когда мы имеем дело с рядом, проявляющим сезонные особенности с известным периодом , полезно представить данные в виде таблицы, состоящей из  столбцов, как, например, табл. 9.1, содержащая логарифмы данных об авиаперевозках. (Перед анализом данных о распродажах и других временных рядах этого типа часто переходят к логарифмам, поскольку сопоставимыми при разных объемах распродажи могут быть процентные флуктуации.)

Таблица 9.1. Натуральные логарифмы месячных количеств (в тыс.) пассажирских перевозок на международных авиалиниях (ряд )

Структура табл. 9.1 подчеркивает, что в периодических данных важен не один, а два временных интервала. В этом примере эти интервалы соответствуют месяцу и году. Конкретнее, мы ожидаем, что существуют определенные соотношения между

а) наблюдениями за последовательные месяцы данного года,

б) наблюдениями того же месяца в последовательные годы.

Ситуация несколько сходна с встречаемой при изучении таблиц с двумя входами в дисперсионном анализе, где можно ожидать сходства между наблюдениями в одной и той же строке или в одном и том же столбце.

Если рассмотреть с этой точки зрения табл. 9.1, то сезонный эффект должен проявиться в ней так: наблюдения за какой-либо месяц (скажем, апрель) некоторого года должны быть связаны с наблюдениями за тот же месяц предыдущего года. Пусть -е наблюдение  относится к апрелю. Тогда мы можем связать это наблюдение с наблюдением в предыдущем апреле моделью вида

,                                                       (9.1.4)

где  и  - полиномы  степеней  и  соответственно, удовлетворяющие условиям стационарности и обратимости. Подобным образом модель

                                                  (9.1.5)

может быть использована для связи наблюдений за март этого и предшествующего года и т. д. для любого из 12 мес. Кроме того, обычно оказывается разумным предположение, что параметры  и , содержащиеся в этих ежемесячных моделях, примерно одинаковы для всех месяцев.

Ошибки  этих моделей не обязательно должны быть некоррелированы. Например, количество авиапассажиров в апреле 1960 г., будучи связанным с количеством пассажиров в апреле предыдущего года, связано также с количеством пассажиров в марте, феврале, январе 1960 г. и т. д. Поэтому можно ожидать, что  в (9.1.4) связано с  в (9.1.5), с  и т. д. Следовательно, чтобы учесть эти связи, мы вводим вторую модель

,                                                            (9.1.6)

где  - белый шум, а  и  - полиномы  степеней  и  соответственно, удовлетворяющие условиям стационарности и обратимости; .

Подставляя (9.1.6) в (9.1.4), получаем окончательную общую мультипликативную модель

,                          (9.1.7)

где в этом частном примере . Индексы  в (9.1.7) были введены, чтобы напомнить читателю о порядках различных операторов. Говорят, что результирующий мультипликативный процесс имеет порядок . Аналогичные рассуждения можно использовать для получения моделей с тремя и более периодическими компонентами, учитывающими многообразие сезонных явлений.