5.5. Резюме

Результаты этой главы сводятся к следующему. Пусть  будет отклонением наблюденного ряда от любой известной детерминированной функции  В частности, для стационарного ряда  может быть равно среднему значению ряда  или нулю, так что  образуют наблюденный ряд. Рассмотрим теперь общую модель АРПСС

или

Прогноз с минимальной среднеквадратичной ошибкой. Пусть известны значения ряда до момента . Тогда прогноз   с минимальной среднеквадратичной ошибкой — это условное математическое ожидание величины  при заданных значениях

Ошибки прогноза на шаг вперед. Отсюда следует, что ошибки прогноза с упреждением, равным единице (на шаг вперед),— это не коррелированные между собой импульсы, генерируемые моделью.

Вычисление прогнозов. На практике простейший способ вычисления прогнозов — непосредственное использование разностного уравнения, а именно

       (5.5.1)

Для вычисления условных математических ожиданий в (5.5.1) вместо , известных к этому моменту, подставляются их значения, вместо будущих значений — их прогноз, вместо известных  — их значения и вместо будущих  — нули. Процесс прогнозирования может быть начат аппроксимацией неизвестных  нулями; практически удобные представления моделей и оценки параметров получаются методами, описанными в гл. 6, 7 и 8.

Вероятностные пределы для прогнозов. Их можно получить

а) вычислением вначале весов  по формулам

         (5.5.2)

где  для ;

б)  подстановкой весов  в

       (5.5.3)

для каждого нужного уровня вероятности  и для каждого упреждения ; здесь  можно заменить практически его оценкой  — выборочным стандартным отклонением белого шума , а  — квантиль уровня  стандартного нормального распределения.

Подправление прогнозов. Когда становится известным новое отклонение  прогноз для момента  может быть скорректирован. Для этого нужно вычислить новую ошибку прогноза  и использовать разностное уравнение (5.5.1), где  заменено на . Другой возможный метод — использовать прогнозы  на момент , получить первые   прогнозов  на момент  из формулы

      (5.5.4)

и затем найти последний прогноз  используя разностное уравнение (5.5.1).

Другие способы представления прогнозов. Способы, описанные выше, охватывают все, что нужно для практического прогнозирования. Однако описанные ниже альтернативные представления позволяют углубить теоретическое понимание природы прогнозов, генерируемых разными моделями.

1) Прогнозы в проинтегрированной форме. Для  прогнозы задаются одной кривой

     (5.5.5)

определяемой «опорными» значениями где . Если  первые  прогнозов не лежат на этой кривой. В общем стационарный оператор авторегрессии приводит к появлению в (5.5.5) затухающих экспоненциальных и синусоидальных членов, а нестационарный оператор — полиномиальных членов.

Подстраивающиеся коэффициенты  в (5.5.5) при переходе от момента  к моменту  могут быть скорректированы на величину, зависящую от последней ошибки прогноза на шаг вперед , согласно общей формуле

         (5.5.6)

выведенной в приложении П5.3.

2) Прогноз как взвешенная сумма прошлых наблюдений. С теоретической точки зрения полезно представить прогноз как взвешенную сумму прошлых наблюдений. Так, если модель представлена в обращенной форме

прогноз с упреждением 1 равен

         (5.5.7)

а прогнозы для больших упреждений можно получить из

       (5.5.8)

где условные математические ожидания известных  надо заменить их значениями, а для будущих  — их прогнозом.

Прогноз для любого упреждения можно записать и иначе, а именно как линейную функцию имеющихся наблюдений. Тогда

где  — функции весов .