6.4. Многозначность моделей

6.4.1. Многозначность моделей авторегрессии — скользящего среднего

В предположении о нормальности процесса знание первого й второго моментов распределения вероятностей дает полное знание распределения. В частности, если известны средние значения процесса  и его автоковариационная функция, вероятностная структура  полностью определена. Покажем теперь, что хотя эта единственная вероятностная структура может быть представлена множеством линейных моделей, тем не менее единственность модели достигается при введении соответствующих ограничений, обеспечивающих стационарность и обратимость.

Положим, что  имеет производящую функцию ковариаций  и представимо линейной моделью

                                                               (6.4.1)

где нули  и  лежат вне единичного круга. Тогда эта линейная модель может также быть представлена в виде

                                                    (6.4.2)

где  — корни  и  корни лежат вне единичного круга. Пользуясь (3.1.11), получим выражение для производящей функции ковариации

Многозначность в выборе параметров скользящего среднего. Так как

отсюда следует, что любая из стохастических моделей

может иметь ту же производящую функцию ковариации при надлежащем выборе константы . В приведенных выше рассуждениях предполагалось, что для комплексных корней будут взяты обратные значения каждого из членов сопряженной пары. Однако, если действительный корень  лежит внутри единичного круга,  будет лежать вне его, а если комплексная пара  и лежит внутри, то пара  и лежит вне единичного круга. Отсюда следует, что существует только одна стационарная обратимая модель вида (6.4.2), имеющая данную автоковариационную функцию.

Возвратное представление. Заметим, что  не изменится, если в (6.4.2) заменить на  или   на . Отсюда все стохастические модели

имеют идентичную ковариационную структуру. Однако представления моделей, содержащие оператор, обращаются к будущим  и (или) к будущим . Следовательно, хотя существуют стационарные и обратимые представления, в которых  выражено через будущие  и , имеется только одно представление (6.4.2), связывающее  целиком только с прошлым ряда.

Таблица 6.1. Сводка данных о моделях, идентифицированных для рядов , включающая начальные оценки параметров

Практически важную форму представления модели получим (хотя это и кажется несколько странным), заменив в (6.4.1) все  на , т. е.

,

где  — последовательность независимо распределенных случайных переменных, имеющих нулевое среднее значение и дисперсию . Это означает, что существует стационарное обратимое представление, в котором  выражено целиком через будущие  и . Мы будем называть его возвратным представлением или просто возвратным процессом.

Уравнение (6.4.2) не является наиболее общей формой стационарной обратимой линейной модели, имеющей производящую функцию ковариации . Например, обе части (6.4.2) могут быть умножены на любой множитель . Отсюда процесс

имеет ту же ковариационную структуру, что и (6.4.2). Этот факт не создает особых трудностей при идентификации, так как мы, естественно, будем стремиться выбрать простейшее представление. Но в гл. 7 мы увидим, что нужно остерегаться возможности появления одинаковых множителей при подгонке процессов.

Итак, мы приходим к заключению, что стационарная обратимая модель, в которой текущее значение  выражено только через прошлое, и не содержащая одинаковых множителей, определяется своей ковариационной структурой единственным образом.

Четкое понимание многозначности модели важно по ряду причин.

1) Как следует из проведенных рассуждений, ковариационная функция может быть логически обоснованно использована для идентификации линейной стационарной обратимой модели, выражающей  через прошлое процесса.

2) Выяснена природа многозначности решений для параметров скользящего среднего, полученных приравниванием моментов.

3) Возвратный процесс

,

полученный заменой  на  в линейной модели, полезен при оценке значения ряда в моменты времени, предшествующие первому наблюдению.

Рассмотрим теперь (2) и (3) более подробно.