1.2.2. Модели передаточных функций
Важный тип
динамического соотношения между непрерывными входом и выходом, для которого
можно найти много физических примеров,- это такой тип, у которого отклонения
входа 
и
выхода 
от
соответствующих средних значений связаны линейным дифференциальным уравнением
вида
, (1.2.11)
где 
- дифференциальный оператор 
,
и 
- неизвестные параметры и 
-параметр, измеряющий холостое
время, или чистое запаздывание, выхода относительно входа. Простейшим
примером (1.2.11) является система, у которой скорость измерения выхода
пропорциональна разности между входом и выходом, т. е.
,
.
Аналогично для дискретных данных в гл.
10 мы описываем систему, где вход и выход , измеряемые через равные интервалы
времени, связаны разностным уравнением
, (1.2.12)
в котором дифференциальный оператор заменен разностным
оператором 
.
Выражение вида (1.2.12),содержащее малое число параметров 
, часто можно использовать как
аппроксимацию динамического соотношения более сложной природы.
Линейную модель
(1.2.12) можно эквивалентным образом писать с помощью прошлых значений входа и
выхода, подставив в (1.2.12) 
, (1.2.13)
.
Другими словами, выход 
и вход 
связаны линейным фильтром
, (1.2.14)
передаточная функция которого
(1.2.15)
Может быть выражена как отношение двух
полиномов
.
Линейный фильтр (1.2.14) называют
устойчивым, если ряд (1.2.15) сходится при 
. Ряд весов 
, появляющихся в передаточной функции
(1.2.15), называется функцией отклика на единичный импульс. Заметим, что
для модели (1.2.12) первые 
весов 
равны нулю. Гипотетическая функция
отклика для системы, показанной на рис. 1.2, изображена в центре этого рисунка.
Модель передаточной
функции (1.2.13) позволяет иначе интерпретировать стохастические модели (1.2.4)
и (1.2.5). Часто возмущения выхода 
вызываются возмущениями некоторой
переменной, с которой динамически связано уравнением вида
(1.2.12). Поэтому можно ожидать, что сложное стохастическое поведение случайной
переменной 
может
быть выражено через другую случайную переменную 
с более простыми свойствами соотношением
.
Если допустить возможность существования
неустойчивого фильтра, у которого один или более корней уравнения 
равны единице, то,
пользуясь ранее введенными обозначениями, можно получить
. (1.2.16)
Стохастические
модели, рассмотренные выше, как раз принадлежат к этому типу, причём - источник белого
шума. Поскольку (1.2.16) можно записать в виде
,
то считается, что 
можно получить пропусканием
белого шума через линейный фильтр с передаточной функцией 
.
Выводы
1)
Мы часто можем описать динамическое соотношение входа и выхода с помощью линейного фильтра
,
где 
- передаточная функция фильтра.
2)
В свою очередь часто
можно компактно и достаточно точно представить в виде отношения двух полиномов
малых степеней от 
:
,
так что динамические уравнения вход –
выход можно записать как
.
3)
Мы будем считать, что ряд с сильно зависимыми последовательными
значениями может быть представлен как результат пропускания белого шума через динамическую
систему, в которой отдельные корни уравнения могут быть единицами. Это позволяет
получить модель процесса авторегрессии – проинтегрированного скользящего
среднего
.
Модели с наложенным
шумом.
Мы видели, что задача оценивания подходящей модели, связывающей выход и вход , эквивалентна
оцениванию передаточной функции 
. Однако эта задача на практике усложняется
присутствием шума 
,
искажающего истинное соотношение между входом и выходом следующим образом:
,
где и независимы. Положим, как показано на
рис. 1.5, что шум может
быть описан нестационарной стохастической моделью вида (1.2.5) или (1.2.7), т.
е.
.
Рис.1.5 Модель передаточной функции
динамической системы с наложенным шумом: 1-линейный фильтр, 2 –линейная
динамическая система
Тогда наблюдаемое соотношение между
входом и выходом будет иметь вид
. (1.2.17)
На практике необходимо оценить
передаточную функцию 
линейного фильтра, описывающего шум, в
дополнение к передаточной функции 
, описывающей динамическое соотношение
между входом и выходом. Методы получения таких оценок обсуждается в гл. 11.
