3.2.2. Автокорреляционная функция и спектр процессов авторегрессии

Автокорреляционная функция. Важное рекуррентное соотношение для автокорреляционной функции стационарного процесса авторегрессии может быть найдено следующим образом. Умножим

на  и получим

 .                   (3.2.2)

Переходя к математическим ожиданиям величин в (3.2.2), получаем разностное уравнение

.                                                                       (3.2.3)

Отметим, что математическое ожидание  равно нулю при , так как  может включать лишь импульсы  до момента , некоррелированные с . Поделив все члены (3.2.3) на , находим, что автокорреляционная функция удовлетворяет аналогичному разностному уравнению

.                                                      (3.2.4)

Заметим, что это уравнение аналогично уравнению, которому удовлетворяет сам процесс .

Запишем теперь (3.2.4) в виде

.

где , и  действует на , но не на . Тогда, записав  в виде

получаем общее решение (3.2.4) виде

 ,                                                             (3.2.5)

где - кори характеристического уравнения

.

Стационарность требует, чтобы . Отсюда, если мы предположим, что все корни  не кратные, то на практике возможны два случая.

1) Корень  действителен, в силу чего член  убывает с ростом номера  как член геометрической прогрессии. Мы будем называть этот случай затухающей экспонентой.

2) Пара корней , комплексно сопряжена, в силу чего они образуют в  член

вида затухающей синусоиды.

В общем автокорреляционная функция стационарного процесса авторегрессии состоит из совокупности затухающих экспонент и затухающих синусоид.

Параметры авторегрессии, выраженные через автокорреляции: уравнения Юла-Уокера. Если мы подставим в (3.2.4) значения , то получим систему линейных уравнений для , со свободными членами :

                                 (3.2.6)

Она обычно называются уравнениями Юла-Уокера [24, 32]. Оценки Юла-Уокера для пара для параметров процесса получим, заменив теоретические значения автокорреляции  выборочными автокорреляциями . Если мы перейдем к матричным обозначениям

решение системы - выражения для параметров  через автокорреляции - можно записать в виде

 .                                                                                              (3.2.7)

Дисперсия. Когда , вклад члена  в (3.2.2) (после перехода к математическим ожиданиям) равен , так как единственный член в  коррелирован с , - это самый последний импульс . Отсюда при ,. Поделив все члены на  и заменив  на , получим выражение для дисперсии

 .                                                         (3.2.8)

Спектр. Для процесса АР()

и

.

Отсюда, используя (3.1.12), получим выражение для спектра процесса авторегрессии

 .           (3.2.9)

Рассмотрим теперь два наиболее важных процесса авторегрессии, а именно процессы первого и второго порядка.