5.4.2. Прогнозирование процесса ПСС(0, 2, 2)

Модель имеет вид процесса .

Способ разностного уравнения. В момент  модель представлена в виде

Беря условные математические ожидания при известном до момента  прошлом, получаем

откуда можно вычислять прогнозы. Прогнозирование при помощи этого способа ряда на рис. 5.5 было продемонстрировано в разд. 5.1.2. Другой возможный способ генерирования первых  прогнозов — подправление формулы (5.2.5)

                                                  (5.4.8)

Проинтегрированное представление модели имеет вид

(5.4.9)

так что . Следовательно, скорректированная функция для этой модели равна

                                                 (5.4.10)

Прогноз при помощи проинтегрированного представления. Эвентуальная прогнозирующая функция — это решение уравнения , т.е.. Поскольку , эвентуальная прогнозирующая функция дает прогноз для любого упреждения, т. е.

                                                 (5.4.11)

Следовательно, прогнозирующая функция — это линейная функция упреждения  с коэффициентами, подстраивающимися в соответствии с положением исходной точки . Стохастическая модель в проинтегрированном представлении имеет вид

и, переходя к условным математическим ожиданиям при известном к моменту  прошлом, получаем

Подстраивающиеся константы можно тогда определить как

                                                   (5.4.12)

а формулы, указывающие способ подстройки, будут

                                              (5.4.13)

Дополнительный член , входящий в формулу для наклона  представляет поправку, которую необходимо ввести в параметр положения , чтобы приспособить его к новой исходной точке.

Нужно также отметить, что  и — доли импульса , которые перейдут в параметры, описывающие положение и наклон соответственно.

Прогноз как взвешенное среднее предыдущих наблюдений. Для этой модели прогнозирующая функция — это прямая линия, проходящая через значения прогнозов  и . Иллюстрацией служит рис. 5.5, где показаны прогнозы, сделанные в момент = 30, и соответствующие весовые функции. Мы увидим, что зависимость всей прогнозирующей функции от предыдущих отражает зависимость  и  от этих значений. Весовые функции для и , показанные на этом рисунке, приведены в табл. 5.4.

Этот пример еще раз демонстрирует, что в то время как АР-оператор  определяет вид используемой функции (в этом случае прямая линия), оператор СС существен при определении способа, которым эта функция «подгоняется» к данным о прошлом.

Рис. 5.7. Веса, приданные предыдущим , определяющие положение и наклон ряда для модели : а — веса для параметра положения , б — веса для параметра наклона .

Зависимость подстраивающихся коэффициентов прогнозирующей функции от предшествующих . Поскольку для общей модели значения подстраивающихся коэффициентов прогнозирующей функции определяются величинами , которые в свою очередь могут быть выражены через наблюденные величины, ясно, что через наблюдения можно выразить и сами подстраивающиеся коэффициенты.

Например, в случае модели , изображенной на рис. 5.6, мы имеем

так что

и

Эти весовые функции приведены на рис. 5.7

Дисперсия ошибки прогноза. Пользуясь (5.1.16) и тем, что  получаем формулу для дисперсии прогноза с упреждением :

                 (5.4.14)

На рис. 5.5 показаны 50- и 95%-ные вероятностные пределы для прогноза при t=30 (использовались значения  и  и значение выборочной оценки ).