5.4.4. Прогнозирование процессов авторегрессии
Рассмотрим процесс порядка 
Эвентуальная
прогнозирующая функция в этом случае есть решение уравнения 
. Она применима ко всем
упреждениям и проходит через последние 
известных значений ряда. Например,
модель ряда цен акций IBM (ряда 
) очень близка к
так
что
Лучший
прогноз на будущее оказывается очень близким к текущему значению цены. Весовая
функция для 
сосредоточена
в точке 
, и не происходит
никакого осреднения по прошлому.
Стационарные модели авторегрессии. Процесс 
порядка 
, где 
— стационарный
оператор и 
с
, будет в общем
случае иметь прогнозирующую функцию, являющуюся совокупностью экспонент и
затухающих синусоид.
В
частности, при 
=
1 модель порядка (1, 0, 0)
имеет
прогнозирующую функцию, которая при любых 
является решением уравнения 
, Отсюда
(5.4.15)
Кроме
того, 
, так
что 
и
Следовательно,
прогноз с минимальной среднеквадратичной ошибкой предсказывает, что текущее
отклонение от среднего должно экспоненциально спадать до нуля. На рис. 5.9, а
показан временной ряд, генерируемый процессом 
, с его прогнозирующей
функцией для момента 
. Поведение этой функции целиком
определяется только отклонением 
. Аналогично минимальная
среднеквадратичная ошибка прогноза для процесса авторегрессии второго порядка
такова, что текущее отклонение от среднего убывает до нуля как затухающая
синусоида
или сумма двух экспонент. На рис. 5.9, б показан временной ряд, генерируемый
процессом 
,
и его прогноз для момента . Поведение прогнозирующей функции для
момента целиком
определяется последними двумя отклонениями и 
.
Рис. 5.9. Прогнозирующие функции процессов
авторегрессии первого и второго порядка:
а — выборка из процесса авторегрессии
первого порядка и
прогнозирующая функция для момента = 14. б — выборка из процесса
авгорегрессии второго порядка и прогнозирующая функция на
момент =14.
1 — ход прогноза, определяемый только по текущему отклонению, 2 — ход
прогноза, определяемый по текущему и предпоследнему отклонениям.
Функция дисперсии для прогноза процесса
(1,0,0).
Чтобы полнее проиллюстрировать использование (5.1.16), выведем функцию
дисперсии для процесса авторегрессии первого порядка. Так как модель в момент 
может быть
представлена в виде
то из (5.4.15)
следует, что
Отсюда
(5.4.16)
Мы
видим, что для этого стационарного процесса при стремлении 
к бесконечности дисперсия
растет до постоянного значения 
, равного среднеквадратичному отклонению
процесса относительно окончательного прогноза 
. Это поведение существенно иное, чем у
нестационарных моделей, у которых функция дисперсии прогноза при больших
упреждениях неограниченно растет.
Рис. 5.10. Прогнозирующая функция
для двух процессов (1,1,0):
а — прогнозы процесса (1,1,0) (1
— 0,8) 
, б — прогнозы
процесса (1,1,0) (1 — 0,8) (
— 0,2) = 
.
Нестационарные модели авторегрессии
порядка . Для модели
затухать
до своего среднего значения при прогнозировании на несколько шагов вперед будет
уже 
-я
разность процесса. Среднее 
будет, как правило,
предполагаться нулевым, если только не появится каких-либо свидетельств в
пользу противного. Если это необходимо, можно, как указывалось в гл. 4, ввести ненулевое
среднее, заменив в модели на 
. Например,
рассмотрим модель
(5.4.17)
После
замены на 
, переходя к условным
математическим ожиданиям при известном на момент прошлом, легко получим (ср. с (5.4.15) и
следующими за ним)
Эта
формула показывает, что прогнозируемая разность экспоненциально убывает
от начального значения 
до своего среднего значения . Суммируя такие
выражения для 
,
изменяющегося от 1 до получаем прогнозирующую функцию
которая
асимптотически приближается к прямой линии
На
рис, 5.10 показаны прогнозы для двух случаев
и 
. Мы увидим в гл. 7, что модель (5.4.17)
с 
и
хорошо
описывает ряд 
;
прогнозы, основанные на этой модели, уже демонстрировались на рис. 5.1 и 5.2.
Рассмотрим теперь прогнозирование некоторых важных смешанных моделей.
