8.2.2. Совокупный критерий согласия

Во многих случаях предпочтительнее не рассматривать отдельные , а оценить неадекватность модели, например, по первым 20 автокорреляциям, рассматриваемым как единое целое. Положим, что мы располагаем первыми  автокорреляциями любого процесса . Можно показать [77], что если подгоняемая модель удовлетворительна, то

                                                            (8.2.2)

распределено приближенно как , где  — число значений , используемых при подгонке модели. С другой стороны, если модель не соответствует данным, среднее значение  поднимется. Следовательно, общий, или «совокупный», критерий проверки гипотезы об адекватности модели, предложенный с учетом описанных выше трудностей, можно провести, сопоставив наблюденное значение  с таблицей -распределения (такой, как таблица  в конце книги).

Модель (0,2,2), подогнанная к ряду . Для иллюстрации применения совокупного критерия  в табл. 8.1 приведены первые 25 автокорреляций  остаточных ошибок процесса , — одной из моделей, подгонявшихся в гл. 7 к ряду .

Таблица 8.1. Автокорреляции  остаточных ошибок модели , подогнанной к ряду

Так как число наблюдений , приблизительная верхняя граница стандартной ошибки автокорреляции равна . По сравнению с этой границей стандартной ошибки все величины  слишком велики. Конечно, редкие большие отклонения могут встречаться даже в случайном ряде, но при рассмотрении этих результатов в целом должно появиться подозрение о недостаточной подгонке модели.

Чтобы сделать более строгое заключение, сравним величину

с таблицей  с 23 степенями свободы. 90- и 95%-ные квантили для  с 23 степенями свободы равны соответственно 32,0 и 35,2. Следовательно, возникает некоторое сомнение в адекватности этой модели.

Модель (0, 1, 1), подгоняемая к ряду . Первые 25 автокорреляций остаточных ошибок для модели , которая в гл. 7 была признана наиболее подходящей для описания ряда , приведены в табл. 8.2. Для этой модели . Сравнение с таблицей  для 24 степеней свободы показывает, что нет оснований для сомнения в адекватности этой модели.

Таблица 8.2. Автокорреляции  остаточных ошибок для модели , подгоняемой к ряду

В табл. 8.3 подытожены значения статистики , основанной на 25 остаточных автокорреляциях для моделей из табл. 7.13, подгоняемых к рядам .

Рассмотрение табл. 8.3 показывает, что имеются только два подозрительно больших значения . Одно из них — это значение 33,7, полученное после подгонки модели  к ряду , которое мы уже обсуждали Другое значение  получено после подгонки модели  к ряду . Оно свидетельствует о возможной неадекватности модели, так как 95- и 97,5%-ные квантили для  с 24 степенями свободы равны соответственно 36,4 и 39,3. Возможную природу этой неадекватности мы рассмотрим в следующем разделе.

Таблица 8.3. Сводка результатов совокупного критерия, примененного к остаточным ошибкам различных моделей, подгоняемых к рядам