4.3.1. Процесс проинтегрированного скользящего среднего порядка (0,1,1)

Представление разностным уравнением. Процесс (0,1,1)

оказывается весьма полезным при описании экспериментальных рядов, и мы исследуем теперь его свойства более детально. Модель может быть описана через  и  в виде

            (4.3.2)

Представление через случайные импульсы. Мы можем также выразить  только через , суммируя обе стороны (4.3.2). Перед тем как это сделать, воспользуемся выражением для оператора в правой части через , а не через . Тогда можно записать

где , и интервал обратимости для  определен неравенствами . Отсюда

и при суммировании получаем

                   (4.3.3)

откуда в представлении  веса ,

для .

Если мы опишем модель с помощью импульсов , появляющихся в системе после момента времени , то получим, как в (4.2.17),

    (4.3.4)

где функция  (своя константа  для каждого ) — это общее решение однородного разностного уравнения . Далее, так как

мы можем записать

Для этой модели, как мы видим, функция  — просто константа (т. е. полином от  нулевой степени), показывающая текущий «уровень» процесса и связанная с выбранной точкой отсчета . Если точка отсчета переносится из  в , то  подправляется согласно формуле

Обращенное представление модели. В заключение мы можем рассмотреть модель в виде

или, что эквивалентно, в виде

где  - взвешенное скользящее среднее предыдущих значений процесса.

 Используя (4.2.21), можно определить веса  для ПСС

(0,1,1) из уравнения

т. е.

откуда

Таким образом, процесс можно записать в виде

                                                                 (4.3.5)

Взвешенное скользящее среднее предыдущих значений процесса

                                              (4.3.6)

в этом случае — экспоненциально взвешенное скользящее среднее (ЭВСС).

Скользящее среднее (4.3.6) называется экспоненциально (или геометрически) взвешенным потому, что веса

убывают по степенному закону (т. е. как члены геометрической прогрессии). Весовая функция ПСС порядка (0,1,1) с   () показана на рис. 4.7.

Рис. 4.7. Веса  процесса ПСС(0,1,1) при

Хотя условие обратимости выполняется для , на практике наиболее часто сталкиваются со значениями  в диапазоне между 0 и 1. Отметим, что если , весовая функция содержит только одно ненулевое значение . По мере того как  приближается к нулю, экспоненциальные веса затухают все медленнее и ЭВСС захватывает все большую часть прошлого процесса. Наконец, при  и  модель  эквивалентна  где —.это среднее всех прошлых значений.

Из сравнения (4.3.3) и (4.3.5) становится очевидным, что

                                                                (4.3.7)

Отсюда следует, в частности, что для этого процесса функция  в (4.3.4) равна

т. е. экспоненциально взвешенному среднему значению процесса до начала отсчета , так как (4.3.4) можно представить как

Мы видим, что функция  как бы говорит нам, что известно о будущем значении процесса в момент  на базе данных о прошлом, имеющихся к моменту времени . Для ПСС (0,1,1) она содержит в себе информацию об «уровне» или положении процесса . В момент k наше знание будущего поведения процесса заключается в том, что он будет отклоняться от этого уровня «случайным блужданием», описываемым членом, математическое ожидание которого равно нулю, и поведение его мы не можем предсказать. Как только поступает новое наблюдение, т. е. как только начало отсчета переносится на момент времени , уровень должен быть подправлен по формуле .

Важные свойства ПСС (0,1,1). Так как этот процесс нестационарен, у него нет среднего значения. Однако экспоненциально взвешенное скользящее среднее  можно рассматривать как измерение положения или «уровня» процесса в момент времени . Из определения (4.3.6) мы получаем хорошо известную рекуррентную формулу для ЭВСС

           (4.3.8)

Из этого выражения следует, что для модели ПСС  (0, 1, 1) каждый новый уровень достигается интерполяцией между новым наблюдением и предыдущим уровнем. Если ,  что означает игнорирование всех указаний о положении процесса, полученных из предыдущих наблюдений. С другой стороны, если  близко к нулю,  будет сильно зависеть от предыдущего значения , входящего с весом . Новому наблюдению будет дан малый вес .

Рассмотрим теперь два уравнения

           (4.3.9)

второе из них получено подстановкой (4.3.5) в (4.3.8); его можно также вывести непосредственно из (4 3.7).

Мат [43] указал на то, что два уравнения (4.3.9) открывают удобный способ трактовки генерирования рассматриваемого процесса. Первое уравнение показывает, как при «уровне» системы  в момент  добавляется импульс  и образуется значение . Однако второе уравнение показывает, что только -я доля импульса фактически «усваивается» уровнем и влияет на будущее; остающаяся доля  импульса рассеивается. Далее, после того как в результате «усвоения» импульса  установился новый уровень , в момент  в систему поступает новый импульс .

Уравнения (4.3.9) с увеличенными на единицу индексами покажут тогда, как этот новый импульс вызывает появление  и как его -я доля «усваивается» системой при выработке нового уровня  и т. д.

Способ «подправления» текущего значения и уровня демонстрируется также записью уравнений (4.3.9) в виде бесконечных сумм импульсов , а именно

           (4.3.10)

Свойства ПСС (0, 1, 1) с детерминированным смещением нуля

обсуждаются в приложении П4.2.