2.1.2. Стационарные стохастические процессы

Весьма специальный класс стохастических процессов, называемых стационарными процессами, основывается на предположении, что процесс находится в определенном статистическом равновесии. Стохастический процесс называется строго стационарным, если его свойства не зависят от изменения начала отсчета времени. Иными словами, если совместное распределение вероятностей  наблюдений  сделанных в любые моменты времени , такое же, что и для   наблюдений , сделанных в соответствующие  моменты времени . Поэтому, чтобы дискретный процесс был строго стационарным, взаимное распределение любой совокупности наблюдений не должно изменяться при сдвиге всех времен наблюдений вперед или назад на любое целое число .

Среднее значение и дисперсия стационарного процесса. Когда , из предположения о стационарности процесса следует, что распределение  вероятности  одинаково для всех времен  и может быть записано как . Отсюда стохастический процесс имеет постоянное среднее значение

,                     (2.1.1)

определяющее уровень, относительно которого он флуктуирует, и постоянную дисперсию

,        (2.1.2)

измеряющую его в размерах относительно этого уровня. Поскольку распределение вероятности  одинаково для всех времен , его форм может быть оценена по гистограмме наблюдений  временного ряда. Кроме того, среднее значение  стохастического процесса можно оценить с помощью выборочного среднего временного ряда

,                                      (2.1.3)

 а дисперсию  стохастического процесса – с помощью выборочной дисперсии

.                          (2.1.4)

Рис. 2.4. Диаграммы разброса при задержках 1 и 2 для данных о выходе партий продукта на рис. 2.1.

Автоковариация и коэффициенты автокорреляции. Из предположения о стационарности следует также, что совместное распределение вероятностей  одинаково для всех времен , разделенных одним и тем же интервалом. Следовательно, природу для совместного распределения можно оценить по диаграмме рассеяния, построенной по парам значений  временного ряда, разделенных постоянным интервалом, или задержкой . Диаграммы рассеяния на рис.2.4 построены по данным циклического процесса. На рис. 2.4,а показаны данные для задержки (по одной оси отложено , а по другой ). На рис. 2.4,б показаны данные для задержки  (по одной оси отложено , а по другой ). Мы видим, что соседние значения временных рядов коррелированны; корреляция между  и  отрицательная, а между  и  положительная. Ковариация между значениями  и , отделенными  интервалами времени, называются автоковариацией с задержкой,  и определяется как

.            (2.1.5)

Аналогично автокорреляция с задержкой  равна

,

поскольку для стационарного процесса дисперсия  в момент времени  та же, что и в момент времени .

Таким образом, автокорреляция с задержкой  равна

 ,                                                    (2.1.6)

откуда вытекает, что .