6.3.3. Начальные оценки для процессов авторегрессии

Если предположить, что исследуемый ряд — процесс авторегрессии первого или второго порядка, начальные оценки  и  можно получить, заменив теоретические автокорреляции  в формулах табл. 6.1 их выборочными оценками , полученными из уравнений (3.2.6) Юла-Уокера. В частности, для процесса АР(1)  и для АР(2)

                    (6.3.5)

где  обозначает -й авторегрессионный параметр процесса порядка . Соответствующая формула, вытекающая из уравнений Юла-Уокера, для процессов высшего порядка может быть получена заменой  в (3.2.7) на .

Отсюда

                                     (6.3.6)

где  — выборочная корреляционная матрица размером содержащая коэффициенты корреляции до порядка, и  — вектор Например, если , (6.3.6) имеет вид

          (6.3.7)

Итеративный метод получения оценок для  по оценкам для  был приведен в приложении П3.2.

В гл. 7 будет показано, что в отличие от ситуации, возникающей с процессами СС, параметры авторегрессии, получаемые из (6.3.6), весьма близки к эффективным оценкам максимального правдоподобия.

Пример. Ряд  до взятия разностей похож на процесс авторегрессии второго порядка

Подставляя выборочные оценки  и , полученные из табл. 6.2, из (6.3.5) находим  и. В качестве второго примера рассмотрим опять ряд , идентифицированный либо как процесс (1,1,0), либо как (0,2,2). Первая модель дает

с , т. е.  для  равно 0,80.

Этот пример особенно интересен, потому что он ясно показывает, что две конкурирующие модели, идентифицированные для этого ряда, тесно связаны друг с другом. В предположении, что ряд — процесс порядка (0,2,2), мы получили модель

             (6.3.8)

Альтернативная модель

         (6.3.9)

очень похожа на (6.3.8).