Приложение П6.1. Среднее значение выборочной автокорреляционной функции нестационарного процесса

Пусть ряд из  наблюдений  генерируется нестационарным процессом

,

и вычисляются выборочные автокорреляции , где

.

В предположении, что  распределены нормально,  распределено независимо от , т. е.

.

Следовательно,

.

После очевидных, но громоздких алгебраических преобразований находим

.                                             (П6.1.1)

Для , близких к нулю,  близко к единице, но для больших значений  оно может быть значительно меньше единицы даже при малых . Рис. П6.1 иллюстрирует этот факт; на нем показано  для  и  и . Хотя, как и полагается для нестационарного процесса, математические ожидания не затухают достаточно быстро, видно, что они не приближаются к единице даже при очень малых задержках.

Подобный эффект может быть замечен всегда, когда параметры приближаются к значениям, при которых сокращение одинаковых множителей в обеих частях уравнения, описывающего модель, приводит к стационарному процессу. Так, в примере, приведенном выше, мы можем представить модель как

,

где . Когда  стремится к нулю, поведение процесса будет все больше походить на поведение белого шума , для которого автокорреляционная функция равна нулю для задержек .

Рисунок. П6.1. Математические ожидания величин  для ряда, генерированного моделью