8.2. Диагностические проверки, применяемые к остаточным ошибкам

Методы введения избыточных параметров путем обобщения модели в некотором направлении хороши в том случае, если мы знаем, какого рода отклонений следует бояться Методики, менее зависящие от таких представлений, основываются на анализе остаточных ошибок. Хотя некоторые представления о том, чего искать, полезны и в этом случае, эти методы создают больше возможностей находить способ изменения моделей непосредственно из данных.

8.2.1. Проверка при помощи автокорреляций

Пусть подгонялась модель

с , и были получены оценки МП параметров . Тогда величины

                                                     (8.2.1)

мы будем называть остаточными ошибками. Можно доказать, что для адекватной модели

.

По мере увеличения длины ряда  становится все ближе к белому шуму . Следовательно, можно ожидать, что изучение  может выявить и указать природу неадекватности модели. В частности, некоторые характерные черты выборочной автокорреляционной функции  могут указать на необходимость определенных изменений модели. Этот вопрос рассмотрен подробнее в разд. 8 3.

Предположим, что модель верна, и мы знали точные значения параметров  и . Тогда, пользуясь (2.1.13) и результатом Андерсона [52], получаем, что выборочные автокорреляции  ряда  должны быть некоррелированы и распределены приближенно нормально относительно нулевого среднего значения с дисперсией  и, следовательно, со стандартной ошибкой . Эти факты можно использовать для оценки статистической значимости кажущихся отклонений этих автокорреляций от нуля.

На практике мы не знаем истинных значений параметров. Мы располагаем только выборочными оценками , по которым, пользуясь (8.2.1), мы можем вычислить не , а . Автокорреляции  ряда  могут дать ценную информацию о недостаточно хорошей подгонке и возможной природе неадекватности модели. Однако, как указывал Дарбин [75], может оказаться рискованным придавать статистическую значимость кажущимся отклонениям этих автокорреляций  от их теоретических нулевых значений исходя из стандартной ошибки , соответствующей . Дарбин показал, например, что для процесса  с параметром  дисперсия  равна , что может оказаться существенно меньше, чем . Дисперсии и ковариации всех автокорреляций  для больших выборок любого процесса  были выведены Боксом и Пирсом [77]. Эти авторы показали, что хотя во всех случаях для малых задержек возможно уменьшение дисперсии и сильная корреляция , при больших задержках эти эффекты быстро исчезают. Поэтому использование  в качестве стандартной ошибки для  будет приводить к недооценке статистической значимости кажущегося отклонения от нуля для автокорреляций при малых задержках, но обычно вполне оправдано для средних и больших задержек.

Рисунок. 8.2. Пределы стандартных ошибок для остаточных автокорреляций .

В качестве примера на рис. 8.2 показаны пределы в одну и две стандартные ошибки  для большой выборки в случае двух процессов авторегрессии первого порядка и двух процессов авторегрессии второго порядка. Эти графики пригодны также для оценки стандартных ошибок процессов скользящего среднего с теми же параметрами (как указано на рисунке).

Можно сделать вывод, что при не слишком больших задержках можно рассматривать  как «верхнюю границу стандартных ошибок , а не как сами стандартные ошибки. Если мы пользуемся  как стандартной ошибкой  при малых задержках, то можем серьезно недооценить значимость кажущихся расхождений.