5.3.2. Роль оператора скользящего среднего в определении начальных величин

В то время как оператор авторегрессии определяет природу эвентуальной прогнозирующей функции, оператор скользящего среднего отвечает за то, как эта функция должна быть «подогнана» к данным, и, следовательно, как надо вычислять и подправлять коэффициенты . Например, рассмотрим процесс ПСС(0, 2, 3)

Используя трактовку условного математического ожидания, данную в разд. 5.1.2, определим прогнозирующую функцию:

Следовательно, эвентуальная прогнозирующая функция будет состоять из одной прямой линии

которая проходит через  и , как показано на рис. 5.3. Однако заметим, что если член  опущен, тогда  и прогноз для всех упреждений будет задаваться прямой линией, проходящей через и .

Рис. 5.3. Эвентуальная прогнозирующая функция процесса ПСС(0,2,3).

Рис. 5.4. Зависимость прогнозирующей функции от наблюдений для процесса (1,1,3) . Прогнозирующая функция проходит через  опорных значения и .

В общем поскольку только одна функция вида (5.3.3) может проходить через  точки, то эвентуальная функция прогноза — это единственная кривая вида , которая проходит через  «опорные» величины ,  ,..., , где . В предельном случае, когда , т. е. модель есть чистая авторегрессия вида  кривая проходит через точки . Таким образом, опорные величины могут состоять из прогнозов или действительных значений ряда; они показаны на рисунках кружками.

Члены скользящего среднего, появляющиеся в представлении модели, помогают выбрать путь использования прошлого ряда для подгонки функции прогноза, определенной оператором авторегрессии . Рис. 5.4 иллюстрирует ситуацию для модели порядка (1, 1, 3), заданной как . Гипотетические весовые функции указывают линейную функциональную зависимость трех прогнозов  и  от .... Поскольку прогнозирующая функция содержит  коэффициентов, она однозначно определяется прогнозами  и , т. е. и. Мы рассмотрим далее, как определяются упомянутые выше весовые функции прогноза.