Программа 3. Оценивание стохастической модели
3.1. Общее описание
Программа вводит начальные оценки
параметров. Они могут быть получены при помощи программы 2 для несезонных
моделей и по методике, описанной в гл. 9, для сезонных моделей. Программа
вычисляет
1) оценки наименьших квадратов 
и 
в сезонной модели
,
где 
, 
— преобразованный временной ряд,
определенный в программе 1, 
— среднее значение ряда 
,
2) стандартные ошибки оценок и оценку
корреляционной матрицы ошибок;
3) автокорреляционную функцию
остаточных ошибок, соответствующих оценкам наименьших квадратов, и связанную с
ними 
-статистику.
3.2. Входные параметры
Минимальная информация, необходимая
для расчетов, включает
- 
определены в программе 1,
- 
определены в программе 2,
- число сезонных параметров
авторегрессии 
- число сезонных параметров
скользящего среднего 
,
- управляющий параметр для среднего
значения 
- начальную оценку 
- начальные оценки несезонных
параметров авторегрессии 
,
- начальные оценки сезонных
параметров авторегрессии 
- начальные оценки несезонных параметров
скользящего среднего 
- начальные оценки сезонных параметров
скользящего среднего 
- максимально допустимое число
итераций 
3.3. Вычисления
Вычисление суммы квадратов остаточных
ошибок. 1) При наличии
начальных ,
«спрогнозированных назад», вычисление остаточных ошибок для заданного набора
параметров проводится в два этапа:
где мы воспользовались сокращенным обозначением
, присутствует,
только если 
,
, 
— отрицательное значение
момента времени 
;
для времен меньше значения
прогнозируемых назад величин пренебрежимо малы.
2) Для того чтобы начать рекуррентные
вычисления в прямом направлении в (1), используется процедура из программы 4
для прогнозирования назад значений 
до таких значений времени, при которых
пренебрежимо
мало.
3) Для данных значений параметров 
сумма квадратов
остаточных ошибок вычисляется как
.
Вычисление оценок наименьших
квадратов. Значения параметров, минимизирующих
сумму квадратов остаточных ошибок, получены методом оптимизации с
ограничениями, предложенным Марквардтом [63]. Этот метод описан в конце
программы. Входной параметр определяет максимально допустимое
число итераций.
Стандартные ошибки и корреляционная
матрица. Оценка остаточной дисперсии
получается из оценки суммы квадратов на последней итерации по формуле
,
ковариационная матрица оценок 
находится по
формуле
,
где 
— регрессионная матрица в
линеаризованной модели, вычисленная на последней итерации в процедуре
Марквардта.
Стандартные ошибки равны
,
а элементы 
корреляционной матрицы вычисляются как
Наконец, оценка 
общей константы равна
,
где
Диагностические проверки. Остаточные автокорреляции вычисляются по остаточным ошибкам 
, соответствующим
оценкам наименьших квадратов, согласно формуле
,
где
и
.
Наконец, статистика вычисляется как
и сравнивается с -распределением с
степенями свободы.
3.4. Выход
Выходная информация должна включать
все входные данные и
на каждой итерации, а также следующую
информацию на последней итерации (т.е. когда процедура привела к сходящемуся
результату, или поиск оказался неудачным, или число выполненных итераций
достигло заданного максимального числа , а сходимость не достигнута):
- остаточные ошибки, соответствующие
оценкам наименьших квадратов 
- оценку остаточной дисперсии (белого
шума)
- ковариационную матрицу оценок 
- корреляционную матрицу оценок 
- оценку общей константы ,
- остаточные автокорреляции 
- -статистику
3.5. Дополнения
Для достижения большей общности
следует ввести управляющие параметры, определяющие режим работы программы.
Можно включить в программу табулирование 
в окрестности минимума путем расчета
этой функции по сетке с центром, соответствующим оценкам наименьших квадратов.
