5.2.4. Вычисление вероятностных пределов прогнозов при произвольном упреждении

Из выражения (5.1.16) следует, что в общем дисперсия ошибки прогноза на  шагов вперед для любого момента , определяемая как математическое ожидание величины

равна

Например, по весам из табл. 5.1 были рассчитаны значения функции  для ряда , приведенные в табл. 5.3.

Таблица 5.3. Дисперсии ошибок прогноза для ряда

Из предположения, что  подчиняются нормальному закону, следует, что при известных значениях процесса до момента  условное распределение вероятности  будущего значения процесса будет также нормальным со средним значением  и стандартным отклонением .

На рис. 5.1 показаны условные распределения вероятности будущих значений  для ряда  при наличии информации о ряде до момента .

Мы покажем в гл. 7, как можно получить оценку  дисперсии  из наблюденных временных рядов. Когда число наблюдений, на которых основывается такая оценка, будет, скажем, не меньше 50,  можно заменить на , и приближенные -ные вероятностные пределы  и  для  будут иметь вид:

                              (5.2.6)

где  — это квантиль уровня  стандартного нормального распределения.

Рис. 5.1. Распределение условных вероятностей будущих значений ,  и  для ряда  при известной информации до момента .

В табл. 7.13 показано, что  для ряда ; следовательно, 50%-ные и 95%-ные пределы, например для , равны:

50%-ные пределы:

95%-ные пределы: .

Величины, которые нужно прибавить и вычесть из прогноза, чтобы получить 50- и 95%-ные пределы, показаны в 4-й и 5-й строках головок табл. 5.1 и 5.2. Они относятся к значениям прогнозов, расположенным непосредственно ниже их.

На рис. 5.2 показан участок ряда  вместе с прогнозами на несколько шагов вперед (крестики) для моментов  и . Там же показаны 50- и 95%-ные вероятностные пределы для  при , меняющемся от 1 до 14. Пределы  и  интерпретируются следующим образом. Если известна информация о временном ряде к моменту , то с вероятностью наблюденное значение  будет заключено в этих пределах, т. е.

Необходимо также пояснить, что эти вероятности относятся только к индивидуальным прогнозам, а не к совокупности прогнозов с различными упреждениями. Например, справедливо, что с 95%-ной вероятностью значение  будет заключено в пределах для упреждения 10. Но нельзя ожидать, что ряд окажется одновременно внутри всех пределов с этой же вероятностью.

Рис. 5.2. Прогнозы и вероятностные пределы для ряда . 1 — прогнозирующая функция, 2 — 50%-иые пределы, 3 — 95%-ные пределы.