3.1. Общий линейный процесс

3.1.1. Две эквивалентные формы линейного процесса

В разделе 1.2.1 мы рассматривали представление стохастического процесса как выход  линейного фильтра, на вход которого поступает белый шум , т.е.

,             (3.1.1)

где - отклонение процесса от некоторого начального уровня или, если процесс стационарен, от своего среднего значения. Общий линейный процесс (3.1.1) позволяет нам представить  как взвешенную сумму настоящего и прошлых значений другого процесса – белого шума . Наиболее важная литература по теории линейных стохастических моделей – это [24,28,29,32,44,92,97-100,102,103]. Белый шум  можно рассматривать как серию импульсов, которые приводят в движение систему. Он состоит из последовательности некоррелированных случайных переменных с нулевым средним значением и постоянной дисперсией:

Так как случайные переменные некоррелированы, их автоковариационная функция должна иметь вид

                                                                (3.1.2)

Поэтому автокорреляционная функция белого шума имеет очень простую форму:

                                                                                               (3.1.3)

Модель (3.1.1) может быть записана иначе, а именно, как взвешенная сумма прошлых значений  плюс добавочный импульс :

.                                   (3.1.4)

В форме (3.1.4) процесс можно объяснить как регрессию текущего отклонения  от уровня  на прошлые отклонения процесса .

Соотношения между весами  и . Соотношения между весами  и  можно получить при помощи введенного ранее оператора сдвига назад

.

Позднее понадобится также оператор сдвига вперед , такой, что

.

Как например использование оператора  рассмотрим модель

,

в которой  при . Выражая  через , получим

.

Отсюда

,

и, выражая отклонение  через прошлые отклонения в виде (3.1.4), получаем

,

так что для этой модели .

Вообще (3.1.1) можно записать в виде

или

,                                                  (3.1.5)

где

с . Как отмечалось в разд. 1.2.1,  называется передаточной функцией линейного фильтра, связывающего  с . Она может рассматриваться также как производящая функция весов , где  следует рассматривать как фиктивную переменную, чья - я степень есть коэффициент при .

Аналогично (3.1.4) можно записать

или

.                                                   (3.1.6)

Тогда

- это производная функция весов . Применяя к обеим частям (3.1.6) оператор , получим

.

Отсюда

и

.                                (3.1.7)

Соотношение (3.1.7) можно использовать для получения весов  по заданным весам  и наоборот.