Программа 4. Прогнозирование с помощью стохастической модели

4.1. Общее описание

Программа вводит оценки наименьших квадратов  параметров общей модели, подогнанной при помощи программы 2, вместе со значениями временного ряда.

Программа вычисляет:

1) прогнозирующую функцию , для каждого момента времени, отстоящего на  временных единиц  от конца ряда. Прогнозы вычисляются вначале для преобразованного временного ряда  а затем переводятся в прогнозы для исходного ряда ;

2) верхний и нижний вероятностные пределы  и  вероятность для некоторого будущего значения  находиться между этими пределами  равна заданной величине .

4.2. Входные параметры

Минимальная информация, необходимая для выполнения расчетов, включает следующие величины:

-   определены в программе 1

-   определены  в программе 2

- управляющий параметр для постоянной составляющей  

- максимальное упреждение прогнозирующей функции ,

- оценки наименьших квадратов постоянной составляющей ,

- оценки наименьших квадратов несезонных параметров авторегрессии ,

- оценки наименьших квадратов сезонных параметров авторегрессии ,

- оценки наименьших квадратов несезонных параметров скользящего среднего ,

- оценки наименьших квадратов сезонных параметров скользящего среднего ,

- оценка наименьших квадратов остаточной дисперсии

4.3. Вычисления

Разъединение операторов. Для целей прогноза сезонная модель представляется в виде

,

где неизвестные параметры заменены их оценками. Для получения  сначала находятся параметры оператора

,

где .

Для этого используется формула

,

двойная сумма находится суммированием по всем  и всем . Константы  и  принимаются равными . Далее, параметры  оператора

с  получаются в результате следующей трехступенчатой процедуры:

1)

2) Этап 1 повторяется  раз с заменой  на ,  на  на каждой итерации для получения коэффициентов .

3) Аналогично применяем  раз этап 1 с  к значениям, полученным на этапе 2, для нахождения окончательных оценок коэффициентов .

Операторы скользящего среднего  находятся таким же способом, как и , по формуле

,

где ,

Генерирование прогнозов. 1) Для трансформированного ряда  прогнозы  вычисляются по формуле

,

где

  и  определены в программе 1. Прогнозы находятся для каждого отодвигаемого назад момента времени

2) Прогнозы  для исходного ряда находятся по формуле

Точность прогнозов. 1) Для прогнозов преобразованного ряда верхний и нижний вероятностные пределы равны

,

где  или 2,58 в зависимости от того, лежит ли будущее значение между этими пределами с вероятностью в интервале  соответственно. Функция дисперсии равна

,

где

для  и

2) Для прогнозов исходного ряда верхний и нижний пределы равны

4.4. Выход

Выходная информация должна содержать все входные данные, а также

- параметры обобщенного оператора авторегрессии

- параметры обобщенного оператора скользящего среднего

- веса    ,

- прогнозы и их вероятностные пределы для данного вероятностного уровня , для , и выбранных начальных моментов, заданных значениями .

4.5. Дополнения

Для целей большей общности полезно ввести управляющие параметры, определяющие режим работы программы. Практически удобно получать прогнозы в виде матрицы, в которой каждый элемент какого-либо столбца соответствует прогнозируемому значению .