Программа 4. Прогнозирование с помощью стохастической модели
4.1. Общее описание
Программа вводит оценки наименьших
квадратов параметров
общей модели, подогнанной при помощи программы 2, вместе со значениями временного
ряда.
Программа вычисляет:
1) прогнозирующую функцию , для каждого
момента времени, отстоящего на временных единиц от конца ряда. Прогнозы
вычисляются вначале для преобразованного временного ряда а затем переводятся в
прогнозы для исходного ряда ;
2) верхний и нижний вероятностные
пределы и
вероятность
для некоторого будущего значения находиться между этими пределами равна заданной
величине .
4.2. Входные параметры
Минимальная информация, необходимая
для выполнения расчетов, включает следующие величины:
- определены в программе 1
- определены в программе 2
- управляющий параметр для постоянной
составляющей
- максимальное упреждение прогнозирующей
функции ,
- оценки наименьших квадратов
постоянной составляющей ,
- оценки наименьших квадратов
несезонных параметров авторегрессии ,
- оценки наименьших квадратов
сезонных параметров авторегрессии ,
- оценки наименьших квадратов
несезонных параметров скользящего среднего ,
- оценки наименьших квадратов
сезонных параметров скользящего среднего ,
- оценка наименьших квадратов
остаточной дисперсии
4.3. Вычисления
Разъединение операторов. Для целей прогноза сезонная модель представляется в виде
,
где неизвестные параметры заменены их
оценками. Для получения сначала находятся параметры оператора
,
где .
Для этого используется формула
,
двойная сумма находится суммированием
по всем и
всем . Константы
и принимаются равными
. Далее,
параметры оператора
с получаются
в результате следующей трехступенчатой процедуры:
1)
2) Этап 1 повторяется раз с заменой на , на на каждой итерации
для получения коэффициентов .
3) Аналогично применяем раз этап 1 с к значениям, полученным
на этапе 2, для нахождения окончательных оценок коэффициентов .
Операторы скользящего среднего находятся таким же
способом, как и ,
по формуле
,
где ,
Генерирование прогнозов. 1) Для трансформированного ряда прогнозы вычисляются по формуле
,
где
и определены в программе 1. Прогнозы
находятся для каждого отодвигаемого назад момента времени
2) Прогнозы для исходного ряда находятся
по формуле
Точность прогнозов. 1) Для прогнозов преобразованного ряда верхний и нижний
вероятностные пределы равны
,
где или 2,58 в зависимости от того, лежит
ли будущее значение между этими пределами с вероятностью в интервале соответственно.
Функция дисперсии равна
,
где
для и
2) Для прогнозов исходного ряда
верхний и нижний пределы равны
4.4. Выход
Выходная информация должна содержать
все входные данные, а также
- параметры обобщенного оператора авторегрессии
- параметры обобщенного оператора скользящего
среднего
- веса ,
- прогнозы и их вероятностные пределы
для данного вероятностного уровня , для , и выбранных начальных моментов,
заданных значениями .
4.5. Дополнения
Для целей большей общности полезно
ввести управляющие параметры, определяющие режим работы программы. Практически
удобно получать прогнозы в виде матрицы, в которой каждый элемент какого-либо
столбца соответствует прогнозируемому значению .