6.3.2. Начальные оценки для процессов скользящего среднего

Из формулы (3.3.4) следует, что первые  автокорреляций процесса СС не равны нулю и могут быть выражены через параметры модели

.                      (6.3.1)

Выражение (6.3.1) для  через  дает  уравнений с  неизвестными. Предварительные оценки  можно получить, подставив в (6.3.1)  вместо  и решив получающиеся нелинейные уравнения. Предварительную оценку  можно тогда получить из

,

заменив  их предварительными оценками и  его оценкой  ,

Предварительные оценки для процесса. Табл. А в конце этой книги связывает  и , и, заменив  на , ее можно использовать для получения начальных оценок любого процесса :  где .

Предварительные оценки для процесса. Диаграмма  в конце книги связывает  и с  и  и после подстановки  и  вместо  и  может быть использована для получения начальных оценок любого процесса .

При получении оценок этим способом необходимо помнить следующее.

1) Автоковариации являются вторыми моментами совместного распределения . Отсюда, приравнивая выборочные моменты их теоретическим значениям, можно получать оценки параметров. Хорошо известно, что метод моментов не всегда эффективен, и можно продемонстрировать его малую эффективность в этих частных случаях. Однако грубые оценки этим способом могут оказаться полезными для получения более эффективных оценок, поскольку они дают приближенное представление о том, где в пространстве параметров «стоит искать» наиболее эффективные оценки.

1)  2) В общем случае уравнения (6.3.1), полученные приравниванием моментов, имеют несколько решений. Например, для

              (6.3.2)

и отсюда находим как

,

так и

                                                            (6.3.3)

как возможные решения. Далее, из табл. 6.2 следует, что автокорреляция с задержкой 1 для первой разности ряда  равна . Подстановка этого значения в (6.3.3) дает пару решений  и . Однако выбранное значение  — единственное, лежащее внутри интервала обратимости . В разд. 6.4.1 показано, что только одно из возможных решений может удовлетворить условиям обратимости.

Примеры. Ряды А, В и D были идентифицированы в табл. 6.4 как возможные процессы ПСС(0,1,1). В разд. 4.3.1 было показано, что эта модель может быть описана различными способами

Приближенные оценки параметров были получены при помощи табл. А в конце книги, они приведены в табл. 6.5.

Ряд С был пробно идентифицирован в табл. 6 4 как процесс ПСС(0,2,2)

или, что эквивалентно,

Таблица 6.5. Начальные оценки параметров A,B и D

Так как первые две автокорреляции  данные в табл. 6.2, приближенно нулевые, то, используя диаграмму C в конце книги, находим . Отсюда можно представить как

или

                                                      (6.3.4)

Это означает, что вторая разность  очень близка к чисто случайному ряду.