3.2.3. Процесс авторегрессии первого порядка (марковский процесс)

Процесс авторегрессии первого порядка имеет вид

                      (3.2.10)

Как было показано в разд. 3.2.1, для стационарности процесса необходимо, чтобы .

Рис. 3.1 Реализации процессов авторегрессии первого порядка (а), соответствующие им автокорреляционные функции (б) и спектральные плотности (в).

Автокорреляционная функция. Согласно (3.2.4), автокорреляционная функция процесса удовлетворяет разностному уравнению первого порядка

                                    (3.2.11)

которое при  имеет решение

                                                            (3.2.12)

Как показано на рис. 3.1, автокорреляционная функция экспоненциально затухает до нуля монотонно при положительном , меняя знак, когда  отрицательно.

В частности, отметим, что

.                                                                                  (3.2.13)

Дисперсия. Согласно (3.2.8), дисперсия процесса имеет вид

.                                                                          (3.2.14)

или, заменяя  на  

.

Спектр. Наконец, используя (3.2.9), найдем спектр процесса:

         (3.2.15)

На рис. 3.1 показаны реализации процесса для случаев , а также соответствующие автокорреляционные функции и спектры. Видно, что в случае большого положительного параметра  соседние значения ряда близки и наблюдается заметный тренд. Это отражается на виде автокорреляционной функции, которая медленно спадает к нулю по экспоненциальному закону, и на виде спектра, в котором преобладают низкие частоты. В случае же, когда параметр  принимает большое по модулю отрицательное значение -0,8, ряд быстро осциллирует. Это находит отражение в поведении автокорреляционной функции, - она экспоненциально спадает до нуля, осциллируя с изменения знака, - и в форме спектра – в нем преобладают высокие частоты.