4.1.2. Общая модель для нестационарного процесса, проявляющего однородность

Модель авторегрессии – проинтегрированного скользящего среднего. Хотя нестационарные модели рассмотренного выше типа могут представлять определенный интерес для описания взрывного или эволюционного поведения (такого, как размножение бактерий), ситуации, которыми мы занимаемся в этой книге, существенно иные. Мы видели, что процесс АРСС стационарен, если корни уравнения  лежат вне единичного круга, и нестационарен, если корни лежат внутри единичного круга. Единственный нерассмотренный возможный случай – когда корни уравнения  лежат на единичной окружности. Оказывается, что соответствующие модели очень важны, так как позволяют описывать однородные нестационарные временные ряды. В частности, несезонные ряды могут нередко хорошо описываться моделями, у которых один или несколько корней равны единице; эти модели и рассматриваются в настоящей главе.

Рассмотрим модель

,                                          (4.1.3)

где  - нестационарный оператор авторегрессии, такой, что  корней уравнения  равны единице, а остальные лежат вне единичного круга. Тогда модель (4.1.3) можно представить в виде

,                      (4.1.4)

где  - стационарный оператор авторегрессии. Так как  для , мы можем представить модель в виде

.                                               (4.1.5)

Эквивалентное определение процесса можно дать двумя уравнениями

                                                    (4.1.6)

и

.                                                                (4.1.7)

Таким образом, мы видим, что модель соответствует предположению, что -я разность ряда может быть представлена стационарным обратимым процессом АРСС. Другой способ трактовки этого процесса при  получим, обратив (4.1.7):

,                                                                 (4.1.8)

где  - бесконечный оператор суммирования, определенный как

.

Таким образом,

.

Оператор  определен аналогично:

.

Далее

 и т. д.

Уравнение (4.1.8) указывает, что процесс (4.1.5) можно получить суммированием (или интегрированием) процесса (4.1.6)  раз. Поэтому процесс (4.1.5) мы будем называть процессом авторегрессии – проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС). Модели АРПСС для нестационарных временных рядов, рассмотренные также Ягломом [38], имеют фундаментальное значение в проблемах прогнозирования и управления [14-20]. Для дальнейшей дискуссии о нестационарных процессах мы отсылаем к Заде и Рагаззини [39] и Калману [40, 41]. Еще ранее Тинтнером [91] была описана процедура анализа рядов, использующая разностный подход, получивший название «метода случайных разностей». Однако мотивы, методы и цели этой процедуры были весьма отличны от рассматриваемых здесь.

Как указывалось в гл. 1, модель (4.1.5) эквивалентна описанию процесса  как выхода линейного фильтра ( если , это неустойчивый линейный фильтр), на входе которого белый шум . Иначе мы можем рассматривать его как средство для преобразования сильно зависимых и, возможно, нестационарных членов  процесса в последовательности некоррелированных случайных переменных , т. е. для преобразования процесса в белый шум.

Если в (4.1.5) оператор авторегрессии имеет порядок , взята -я разность и оператор скользящего среднего  имеет порядок , мы говорим, что имеем модель АРПСС порядка (, , ) или просто процесс АРПСС (, , ).

Две интерпретации модели АРПСС. Покажем теперь, что (4.1.5) – интуитивно оправданная модель для тех типов встречающихся в эксперименте временных рядов, которые мы хотим изучать. Прежде всего отметим основную особенность процесса авторегрессии первого порядка (4.1.2) для  и для . Она заключается в том, что локальное поведение ряда, генерируемого моделью, существенно зависит от уровня . Напротив, локальное поведение рядов такого типа, как показанный на рис. 4.1, кажется не зависящим от уровня.

Если нам нужны модели, у которых поведение процесса не зависит от его уровня, следует выбрать оператор авторегрессии  таким, что

,

где  - любая константа. Отсюда  должно иметь вид

.

Следовательно, класс процессов, имеющих желаемое свойство, должен иметь вид

,

где  Далее, нельзя допустить, чтобы разность  неконтролируемо росла. Это означает, что либо  должен быть стационарным оператором авторегрессии, либо , где  - стационарный оператор авторегрессии. В последнем случае то же рассуждение можно применить ко второй разности и т. д.

В результате мы приходим к заключению, что для представления нестационарных, но однородных временных рядов оператор в левой части (4.1.3) должен иметь вид , где  - стационарный оператор авторегрессии. Таким образом, мы приходим опять к модели (4.1.5). Смысл этой модели можно пояснить и с несколько другой точки зрения. Рассмотрим случай, когда а (4.1.4) , так что . Требование,

Рис. 4.3. Два типа однородного нестационарного поведения: а – ряд с нестационарностью уровня, представимый моделью ; б – ряд с нестационарностью уровня и наклона, представимый моделью .

чтобы нули функции  лежали вне единичного круга, приводит к тому, что не только процесс , но и процессы , ,  и т. д. стационарны и имеют нулевые средние значения.

На рис. 4.3, а показан один тип нестационарных рядов, которые бы мы хотели описать моделью. Этот ряд однороден, если не принимать во внимание уровень; иными словами, отдельные участки ряда, за исключением смещения по вертикали, выглядят одинаковыми. Такое поведение можно описать, выдвинув требование, чтобы каждая разность была стационарна с нулевым средним значением, и допустив «свободные» изменения уровня. Этого можно добиться, используя модель

.

На рис. 4.3, б показан второй тип нестационарности, часто встречающийся на практике. Этот ряд не имеет ни фиксированного уровня, ни фиксированного наклона, но его поведение однородно, если мы допускаем различие в этих характеристиках. Такое поведение можно описать моделью

,

которая обеспечивает стационарность и нулевое среднее значение для всех разностей, кроме первой и второй, но допускает «свободные» изменения уровня и наклона.