4.1.3. Общий вид процесса авторегрессии – проинтегрированного скользящего среднего

По причинам, которые будут рассмотрены ниже, иногда целесообразно рассматривать слегка обобщенную форму модели АРПСС(4.1.5), полученную добавлением постоянного члена . Итак, довольно общий вид модели, которой мы будем пользоваться для описания временных рядов, это процесс авторегрессии – проинтегрированного скользящего среднего

,                                               (4.1.9)

где

,                                                 

.                                                  

В дальнейшем изложении

1)  будет называться оператором авторегрессии; предполагается, что этот оператор стационарен, т. е. корни  лежат вне единичного круга.

2)  будет называться обобщенным оператором авторегрессии; это нестационарный оператор, у которого  корней уравнения  равны единице.

3)  будет называться оператором скользящего среднего; предполагается, что он обратим, т. е. что корни  лежат вне единичного круга.

Когда , модель (4.1.9) описывает стационарный процесс. Требования стационарности и обратимости накладываются независимо, и в общем случае операторы  и  имеют разные порядки. Примеры областей стационарности для простых случаев  и идентичных областей обратимости для  были приведены в гл. 3.

Стохастические и детерминированные тренды. Мы видели в разд. 4.1.2, что когда постоянный член  опущен, модель (4.1.9) может описывать ряды со стохастическими трендами, например случайным уровнем или наклоном ряда. В общем же случае мы можем включить в модель детерминированную функцию времени . В частности, автоматический учет детерминированного полиноминального тренда степени  обеспечивает условием, что  не равно . Например, когда , мы можем использовать модель с  для оценок возможного детерминированного линейного тренда в присутствии нестационарного шума. Поскольку условие  эквивалентно условию, что

не равно нулю, другой способ описания этой более общей модели (4.1.9) осуществляется в виде стационарного обратимого процесса АРСС, в котором , т. е.

.                                        (4.1.10)

В тех случаях, когда нет физических причин для существования детерминированной компоненты, среднее значение  может предполагаться нулевым, если только сами данным. Ниже, в случаях, когда , мы часто будем полагать, что , или, эквивалентно, , если только сами данные или смысл задачи не будет указывать на то, что необходимо учитывать ненулевое среднее или в более общей форме детерминированную компоненту известного вида.

Некоторые важные специальные случаи модели АРПСС. В гл. 3 мы познакомились с некоторыми важными специальными случаями модели (4 1 9), соответствующими стационарной ситуации . Следующие модели являются частными случаями нестационарной модели (), которая, по-видимому, часто встречается на практике:

1) Процесс (0, 1, 1)

,

для которого , , , , .

2) Процесс (0, 2, 2)

,

для которого , , , , .

3) Процесс (1, 1, 1)

или

,

для которого , , , , .

При описании несезонных временных рядов (сезонные модели рассмотрены в гл. 9) мы редко встречаемся с ситуацией, при которой ,  или  должны бать больше 2. Часто оказывается, что этим параметрам достаточно придать значения 0 или 1. Например, мы покажем, что ряды A, B, C, D, показанные на рис. 4.1, могут быть хорошо описаны простыми моделями, приведенными в табл. 4.2.

Таблица 4.2. Сводка простых нестационарных моделей, подогнанных к временным рядам на рис. 4.1

Нелинейное преобразование процесса . Область полезных приложений модели (4 1 9) может быть значительно расширена, если можно заменить  в (4 1 9) на , где  - некоторое нелинейное преобразование , включающее один или несколько параметров преобразования . Вид преобразования, которое следует применить, часто подсказывается ситуацией или может быть оценен из данных. Например, если мы интересуемся сбытом недавно введенного товара, мы можем выяснить, что объем сбыта быстро увеличивался и что нестационарную устойчивость проявляли относительное, а не абсолютные флуктуации. В таком случае, очевидно, целесообразно анализировать логарифм объема сбыта. Когда преобразование должно оцениваться по данным, один из способов такой оценки – использование подхода, описанного Боксом и Коксом [42].