2.2. Спектральные свойства стационарных моделей

2.2.1. Периодограмма

Другой способ анализа временного ряда основан на предположении, что он образован синусоидами и косинусоидами различных частот. Способ реализации этой цели, предложенный в 1898 г. Шустером [30], основан на применении периодограммы (см. также [31]). Периодограмма вначале использовалась для обнаружения и оценок амплитуды синусоидальной компоненты, скрытой шумом. Мы будем пользоваться ею в дальнейшем для контроля случайности ряда  (обычно ряда из остаточных ошибок после подгонки какой -  либо модели), в котором периодические компоненты неизвестной частоты могут еще сохраниться.

Для иллюстрации вычислений периодограммы положим, что число наблюдений  нечетно: . Если мы подгоняем модель ряда Фурье

 ,                      (2.2.1)

где - -я гармоника основной частоты , то оценки (наименьших квадратов) коэффициентов  и  будут

,                                                                                                (2.2.2)

,                                       (2.2.3)

,                                                                             (2.2.4)

Тогда периодограмма состоит из  значений

                            (2.2.5)

где  называется интенсивностью на частоте

Когда  четно, мы полагаем , и (2.2.2)-(2.2.5) применимы для

Для  имеем

,

и

.

Заметим, что наиболее высокая частота составляет 0,5 цикла за временной интервал, поскольку наименьший период равен двум интервалам