7.1.2. Условное правдоподобие для процесса АРПСС

Пусть  исходных наблюдений  образуют временной ряд, который  мы обозначим  . Предположим, что этот ряд генерирован моделью АРПСС порядка . По этим наблюдениям можно генерировать ряд  из  разностей , где . Отсюда общая задача подгонки параметров  и  модели АРПСС (6.1.1) эквивалентна задаче подгонки к  стационарной смешанной модели АРСС, которую можно представить в виде

,                           (7.1.1)

где  и  с .

Для  часто разумно предположить, что  (см. обсуждение этого вопроса в разд. 4.1.3, 6.2.3, 6.3.5 и 6.3.7). Когда это не оправдано, мы полагаем, что  можно заменить на . Для выборок такого объема, которые обычно рассматриваются в анализе временных рядов, эта аппроксимация адекватна. Однако, если это нужно, можно включить  в число оцениваемых параметров. Описываемые здесь методики позволяют оценивать  одновременно с другими параметрами.

Значения  не могут быть сразу подставлены в (7.1.1) для вычисления  из-за трудностей с начальными условиями разностного уравнения. Однако если мы предположим, что  значений  ряда  и  значений  ряда  даны до начала наблюденного ряда , то значения  обусловленные этим выбором, можно вычислить по (7.1.1).

Следовательно, для любого данного набора параметров  и начальных значений  мы можем последовательно вычислить множество значений  для . Далее, в предположении, что  распределены по нормальному закону, получаем

.

Если дано множество величин , то условная логарифмическая функция правдоподобия для параметров  при заданных  будет равна

,                                                       (7.1.2)

куда, в согласии со сказанным ранее, не включена аддитивная константа и где

                                                            (7.1.3)

Выше мы использовали звездочки как нижние индексы в функциях правдоподобия и суммы квадратов, чтобы подчеркнуть, что они зависят от выбора начальных значений. Заметим, что в условное правдоподобие  данные входят только через условную сумму квадратов. Очевидно, что изолинии функции  для любого заданного значения  в пространстве  совпадают с изолиниями , т. е. оценки максимального правдоподобия те же, что и оценки наименьших квадратов. Вообще говоря, мы можем в предположении о нормальности изучать поведение условного правдоподобия, исследуя условную сумму квадратов. В частности, для любого фиксированного  — линейная функция .