5.1.1. Вывод формулы для прогнозов с минимальной среднеквадратичной ошибкой

Положим теперь, что, находясь в начале отсчета , мы должны сделать прогноз  величины  который был бы линейной функцией текущего и предшествующих наблюдений . Тогда он будет также линейной функцией текущего и предшествующих импульсов  .

Предположим, что наилучшийпрогноз — это

где веса должны быть определены. Тогда, учитывая (5.1.3), находим, что среднеквадратичная ошибка прогноза равна

   (5.1.10)

Она может быть минимизирована приравниванием . Этот вывод является частным случаем более общих результатов теории прогнозирования, развитой Волдом [44], Колмогоровым [45—47], Винером [48] и Уиттлом [49]. В результате имеем

       (5.1.11)

                                                                            (5.1.12)

где  — ошибка прогноза  с упреждением .

Отсюда вытекает ряд важных выводов. Как и ранее, обозначим условное математическое ожидание  при условии, что все  до момента  известны, через . Тогда

1)          (5.1.13)

Это значит, что прогноз с минимальной среднеквадратичной ошибкой в момент  с упреждением  есть условное математическое ожидание  в момент  Когда  рассматривается как функция  при фиксированном , мы будем называть ее прогнозирующей функцией для момента .

2) Ошибка прогноза для упреждения  равна

                                               (5.1.14)

Так как

                                                                                        (5.1.15)

прогноз будет несмещенный. Далее, дисперсия ошибки прогноза равна

                                 (5.1.16)

3) Легко показать, что не только  — прогноз  с минимальной среднеквадратичной ошибкой, но и любая линейная функция  прогнозов — это прогноз с минимальной среднеквадратичной ошибкой соответствующей линейной функции  будущих наблюдений. Например, положим, что мы получили при помощи (5.1.13) по ежемесячным данным прогнозы с минимальной ошибкой  и  сбыта товара на один, два и три месяца вперед. Тогда справедливо, что  — это прогноз с минимальной среднеквадратичной ошибкой сбыта товара   в течение следующего квартала.

4)  Остаточные ошибки как ошибки прогноза на один шаг вперед. Из (5.1.4) следует, что ошибка прогноза на один шаг вперед есть

                                                                   (5.1.17)

Следовательно, остаточные ошибки, генерирующие процесс, которые до сих пор вводились как множество независимых случайных величин или импульсов, оказываются ошибками прогноза на шаг вперед.

Отсюда следует, что для прогноза с минимальной среднеквадратичной ошибкой ошибки прогноза на шаг вперед должны быть некоррелированы. Это весьма разумно, так как если бы ошибки прогноза на шаг вперед были коррелированы, тогда ошибка прогноза  могла бы до некоторой степени быть предсказана по известным ошибкам прогноза . Если предсказанная таким путем величина была бы , то  было бы лучшим прогнозом , чем .

5) Корреляция между ошибками прогноза. Хотя оптимальные ошибки прогноза с упреждением 1 (на шаг вперед) некоррелированы, ошибки прогноза с большим упреждением будут, вообще говоря, коррелированы. В разд. П5.1.1 мы выведем общее выражение для корреляции между ошибками прогноза  и , сделанными при том же самом упреждении с различных моментов времени  u .

Далее справедливо также, что ошибки прогноза  и , сделанные для разных упреждений с одного и того же момента времени  тоже коррелированы. Одно из следствий этого состоит в том, что часто функции прогноза лежат либо целиком выше, либо целиком ниже фактических значений ряда. В разд. П5.1.2 мы приведем общее выражение для корреляции между ошибками прогноза , сделанными с того же момента времени.