8.2.4. Проверка при помощи кумулятивной периодограммы

В некоторых ситуациях, особенно при подгонке сезонных временных рядов, о которых мы будем говорить в гл. 9, можно опасаться, что мы неадекватно учли периодический характер ряда. Следовательно, мы должны исследовать периодичность остаточных ошибок. Автокорреляционная функция не является чувствительным индикатором таких отклонений от случайности, поскольку эффект периодичности будет, как правило, распыляться на несколько значений автокорреляций. С другой стороны, периодограммы разработаны специально для обнаружения периодичности на фоне белого шума.

Периодограмма временного ряда , согласно разд. 2.2.1, — это

,                                            (8.2.3)

где  — частота. Таким образом, это результат корреляции  с синусоидами и косинусоидами различных частот. Периодичность с данной частотой , имеющаяся в остаточных ошибках, подчеркивается при корреляции с синусоидой или косинусоидой той же частоты и дает поэтому большое значение .

Кумулятивная периодограмма. Бартлетт [78] (см. также [27]) показал, что кумулятивная периодограмма является эффективным средством обнаружения периодического отклонения от случайности.

Спектр мощности  белого шума имеет постоянное значение  в частотном диапазоне 0—0,5 Гц. Следовательно, график кумулятивного спектра белого шума как функции

                                                       (8.2.4)

имеет вид прямой линии, идущей от точки  к точке , и, следовательно, график  — прямая линия, идущая от  к .

Как упоминалось в разд. 2.2.3,  дает оценку спектра на частоте . Действительно, для белого шума , и  — несмещенная оценка. Отсюда следует, что  — несмещенная оценка проинтегрированного спектра , и

                                                        (8.2.5)

- оценка , где  - оценка . Мы будем называть  нормированной кумулятивной периодограммой.

Если бы модель была адекватна, а параметры ее точно известны, , вычисляемые из данных, обладали бы свойствами белого шума. Для белого шума график  имел бы разброс относительно прямой, соединяющей точки  и . С другой стороны, из-за неадекватности модели ряд  становится неслучайным, и его кумулятивная периодограмма должна систематически отклоняться от этой линии. В частности, периодичности  приводили бы к появлению больших соседних значений . Эти большие ординаты усиливали бы друг друга в  и образовывали бы заметное отклонение от ожидаемой прямой линии.

На практике мы не знаем точно значений параметров и располагаем только их выборочными оценками. Мы не имеем значений , а только выборочные остаточные ошибки . Однако для больших выборок периодограмма ряда  имеет свойства, сходные со свойствами периодограммы белого шума . Поэтому внимательное изучение периодограммы ряда  может служить полезной дополнительной диагностической проверкой, особенно для выявления неучтенных периодичностей.

Пример: ряд . Мы видим, что ряд  хорошо описывается моделью

и несколько хуже – моделью

,

почти эквивалентной первой. Мы проиллюстрируем критерий кумулятивной периодограммы на примере анализа остаточных ошибок  после подгонки к ряду неадекватной модели

.

Для этой модели оценка наименьших квадратов для  равна . График нормированной кумулятивной периодограммы остаточных ошибок этой модели показан на рис. 8.3, а. Рассмотрение этого рисунка показывает, что имеются существенные отклонения кумулятивной периодограммы от линейности. Эти отклонения очень заметны на низких частотах и похожи на то, что должно было бы быть, например, при недостаточном взятии разностей. На рис. 8.3, б показан соответствующий график для наилучшей модели . Точки кумулятивной периодограммы теперь весьма близки к ожидаемой прямой, хотя, как мы видели в табл. 8.3, имеются свидетельства неадекватности и этой модели.

Разумно иметь на графике как шкалу периодов, так и шкалу частот. Это облегчает идентификацию отходов от прямой в случаях, когда остаточные ошибки имеют периодичность. Например, в месячных ценах отклонения вблизи периодов  и т. д. месяцев могут свидетельствовать о неадекватном учете сезонных явлений.

Вероятностное соотношение между кумулятивной периодограммой и проинтегрированным спектром — точно такое же, как между эмпирической и теоретической функциями распределения. По этой причине мы можем оценить отклонения периодограммы от ожидаемой для белого шума при помощи критерия Колмогорова [79]. Пользуясь этим критерием, мы можем провести около теоретической прямой предельные линии. Они имеют следующий смысл: если ряд  — белый шум, кумулятивная периодограмма будет отклоняться от прямой настолько, чтобы пересечь эти предельные линии только с указанной вероятностью. Однако, поскольку  — это подогнанные значения, а не точные , они будут не точно следовать процессу белого шума даже для правильной модели. Поэтому использование в качестве теста неадекватности модели пределов Колмогорова позволяет только приближенно оценивать вероятности. Однако полезно указывать эти пределы на кумулятивной периодограмме для грубых оценок, какие отклонения считать сомнительными, а какие исследовать подробнее.

Эти предельные линии обладают тем свойством, что для чисто случайных рядов кумулятивная периодограмма выходила бы за них в -й части всех случаев. Они проводятся на расстояниях  выше и ниже теоретической прямой; здесь  для четных  и  для нечетных. Приближенные значения  приведены в табл. 8.5.

Рисунок. 8.3. Ряд  — кумулятивные периодограммы остаточных ошибок для наилучшей подогнанной модели,  — порядка , б — порядка .

Таблица 8.5. Коэффициенты для вычисления приближенных вероятностных пределов в критерии кумулятивной периодограммы

Для ряда , и 5%-ные предельные линии, проведенные на рис. 8.3, отстоят от теоретической прямой по ординате на . 25%-ные предельные линии отстоят от теоретической на .

Выводы. Каждая из описанных выше проверочных процедур имеет существенные преимущества и недостатки. Проверки, основанные на изучении выборочных автокорреляционных функций и кумулятивных периодограмм, могут указывать на особенности ряда, существование которых не подозревалось; однако они не слишком чувствительны. Тесты на конкретный вид отклонений, проводимые путем введения в модель избыточных параметров, весьма чувствительны, но могут не выявить те несоответствия, на которые они не рассчитаны.