16.4. Инерционная система с кубической нелинейностью

1. Разберем теперь подробнее и обстоятельнее закономерности преобразования инерционной нелинейной системой гладкого шума на конкретном примере уже рассмотренной выше системы с кубической нелинейностью. Пусть стационарный гауссов шум и с корреляционной функцией преобразуется нелинейной инерционной системой в соответствии с уравнениями

(16.4.1)

где — белый гауссов шум. Полагая, что входной случайный процесс задается шириной и значением в нуле его спектра, для его дисперсии и интенсивности белого шума получаем следующие выражения:

(16.4.2)

Мы не будем анализировать здесь процессы установления кумулянтов стационарного распределения (этим мы займемся в следующем параграфе), а уделим внимание преобразованию спектров , полагая, что переходные процессы закончились и выходной процесс стал стационарным. Кроме того, в этом параграфе мы ограничимся гауссовым приближением.

2. Отыщем сначала установившиеся значения кумулянтов совокупности . Согласно (16.2.2) уравнения для них имеют вид:

Выражая входящие сюда средние через кумулянты и учитывая, что , найдем

Таким образом, среднее значение выходного случайного процесса равно нулю, совместный кумулянт выражается через дисперсию, которая, в свою очередь, удовлетворяет кубическому уравнению

(16.4.3)

Поскольку дисперсии положительны, то значение является единственным положительным корнем этого алгебраического уравнения.

Для последующего удобнее, однако, и дисперсию, и совместный кумулянт выражать через полосу рассматриваемой нелинейной системы равную в гауссовом приближении

Таким образом,

(16.4.4)

Для полосы из (16.4.3) легко находим уравнение

(16.4.5)

где мы обозначили через некоторую характерную полосу, зависящую от нелинейности системы и спектра воздействующего шума. Ниже выяснится смысл этой полосы.

Рис. 16.1.

Необходимо отметить, что из (16.4.5) отчетливо видно, какими параметрами определяется полоса системы. Весьма важным обстоятельством, которое в общих чертах уже отмечалось выше, является то, что полоса нашей нелинейной инерционной системы зависит не только от параметра нелинейности а, являющегося характеристикой собственно системы, но и от полного набора параметров входного шума.

Введя отношение полосы системы к полосе воздействующего шума , для относительной полосы получим следующее основное уравнение гауссова приближения:

(16.4.6)

где безразмерный коэффициент

(16.4.6)

описывает характеристику входного шума с учетом нелинеиности системы. Назовем этот коэффициент индексом шума. Индекс шума является, как это будет видно далее, определяющей характеристикой шума, воздействующего на нелинейную систему.

Алгебраическое уравнение (16.4.6) является численным. Нас интересует положительный корень этого уравнения, и далее под мы будем понимать именно этот корень, который, очевидно, зависит от значения :

(16.4.8)

На рис. 16.1 изображен график этой функции, асимптотические значения которой равны

(16.4.9)

Если договориться о том, что два знака неравенства означают порядок (101), а три знака неравенства будут означать полтора порядка , то это значит, что нижняя строчка в (16.4.9) будет достаточно точно представлять при значениях , равных и больших 30.

Тем самым, задаваясь значением индекса шума согласно (16.4.8) находим , а затем и искомые значения полосы и кумулянтов

3. Рассмотрим случай малого индекса шума , для которого

(16.4.11)

Как следует отсюда, малый индекс шума имеет место в том случае, когда полоса системы много меньше полосы воздействующего шума, причем значения полосы системы и кумулянтов в этом случае вообще не зависят от , а только от . Это значит, что в формулах

(16.4.11) ничего не изменится, если устремить к бесконечности, т. е. если случайный процесс заменить белым шумом. Таким образом, условие малости индекса шума

(16.4.12)

есть не что иное, как условие широкополосности (16.3.7), поскольку в данном случае . Таким образом, введенная выше характерная полоса есть не что иное, как полоса системы при «белошумовом» воздействии.

Условие малости индекса шума (16.4.12) определяет взаимоотношение высоты и ширины его спектра, причем в это взаимоотношение «включена» нелинейность системы. Шум имеет малый индекс, если он быстр и если мала нелинейность системы. Однако условие малости индекса шума может нарушиться, если при неизменных характеристиках шума и нелинейность системы сильно возрастет. Это значит, что сам по себе шум, обладающий, скажем, малым значением и большой шириной спектра, еще не может считаться широкополосным, если не указано значение нелинейности системы. Более того, согласно (16.4.12), именно присутствие в этом соотношении нелинейности и позволяет установить, по сравнению с чем должна быть мала высота спектра или велика полоса .

Как и должно быть, выражения (16.4.11) для полосы случайного процесса (а при широкополосном воздействии полоса выходного процесса совпадает с полосой системы) и кумулянтов при учете (16.3.3), (16.4.2) совпадают с тем, что было получено ранее для воздействия белого шума [ср. с (15.4.8), (15.5.1)].

4. Пусть теперь индекс шума велик, так что

(16.4.13)

В этом случае выражения (16.4.10) переходят в

(16.4.14)

Большое значение индекса шума будет тогда, когда воздействующий шум является достаточно медленным или когда велика нелинейность системы. С другой стороны, условие (16.4.13) означает, что

т. е. что при большом индексе шума имеет место квазистатическое воздействие этого шума на нелинейную систему [ср. с(16.3.9)]. Это приведет нас в гауссовом приближении, согласно (16.2.6) и (16.4.1), к откуда мы элементарно находим

что, как и должно быть, полностью совпадает с (16.4.14).

Шум, обладающий большим индексом, воздействует на нелинейную систему своей дисперсией, т. е. своей мощностью, что отчетливо видно из (16.4.4), и это понятно, ибо такой шум полностью «влезает» в полосу системы и на статистические характеристики одномерного распределения выходной переменной действует целиком, независимо от конкретной формы его спектра. Шум, обладающий малым индексом, согласно (16.4.11), воздействует на систему лишь значением своего спектра на нулевой частоте.

В точности такая же ситуация встречается в теории стохастической модуляции (см., например, [35]), где аналогичную роль играет понятие индекса модуляции. Эта аналогия и объясняет, почему параметр мы назвали индексом шума.

В случае произвольного значения индекса шума для нахождения основных характеристик: полосы системы и дисперсии выходной переменной, мы должны обращаться к графику функции и тогда

(16.4.15)

Если полоса и высота спектра входного шума фиксированы, то все определяется нелинейностью системы . При малой нелинейности может быть случай широкополосного воздействия (когда малость нелинейности ведет к малому значению полосы), а при большой нелинейности системы тот же самый шум может оказывать на систему уже квазистатическое действие (в этом случае большая нелинейность сделала полосу системы большой по сравнению с полосой шума).

5. Перейдем теперь к анализу спектра выходного случайного процесса . Согласно (16.2.7)

(16.4.16)

где

Если рассматривать — энергетическую полосу спектра случайного процесса , то из (16.4.16) найдем

Эта формула показывает, что полоса выходного шума есть «параллельное соединение» полосы воздействующего шума и полосы системы.

Используя (16.4.15), можно записать следующие общие соотношения для и полосы спектра выходного случайного процесса:

Таким образом, мы имеем полную информацию о спектре гладкого процесса, прошедшего через инерционную нелинейную систему с кубической нелинейностью. Мы знаем форму спектра, его значение в нуле и ширину.

Разберем теперь, как деформируется спектр при изменении параметров входного шума.

Пусть высота спектра входного шума изменяется от малых до больших значений , а полоса спектра у остается при этом постоянной. Тогда энергетическая полоса спектра будет равна

т. е. будет расти оставаясь при этом много меньше пока . Затем при дальнейшем росте она возрастет до величины и уже не будет ее превышать, как бы ни возрастала высота входного спектра. Высота спектра ведет себя при возрастании иначе.

Сначала она сохраняет постоянное значение, равное для всех тех , при которых . Затем она возрастать и при больших значениях растет пропорционально .

Общий вид эволюции выходного спектра при непрерывном возрастании высоты входного спектра показан на рис. 16.2. Наблюдается весьма интересная картина эволюции. Сначала при малых значениях имеет место режим расширения спектра (при постоянном значении ), а затем наступает режим фильтрации, когда растет, а полоса не меняется.

Рис. 16.2. и Рис. 16.3.

Переходная область от одного режима к другому соответствует значению . Такой необычностью картина эволюции выходного спектра обязана, разумеется, нелинейности инерционной системы.

Другой характер изменения выходного спектра наблюдается при и росте полосы входного спектра от малых значений до больших . В этом случае полоса постоянна, а индекс шума уменьшается. Высота выходного спектра при росте падает от больших значений (при ) до значения, равного (при ), а ширина выходного спектра возрастает от малых значений до , оставаясь далее неизменной, хотя ширина входного спектра растет неограниченно. Общий вид такой эволюции показан на рис. 16.3.