7.7. Формулы размыкания моментных и кумулянтных скобок для совокупности двух процессов

1. Приведем теперь необходимые для дальнейшего формулы размыкания некоторых моментных и кумулянтных скобок, аргументами которых являются случайные процессы, взятые в различные моменты времени. Эти формулы получаются элементарным путем из ранее найденных формул размыкания моментных и кумулянтных скобок для случайных величин.

При этом мы ограничимся в соответствии с названием настоящей главы только стационарными случайными процессами и их совокупностями.

Для таких процессов и совокупностей, рассматриваемых в два момента времени, введем следующие обозначения некоторых моментных и кумулянтных скобок, которые будут встречаться в дальнейшем наиболее часто:

(7.7.1)

и т. п.

Здесь

.

2. Полагая в (3.4.1) , получим

(7.7.2)

Разложение соответствующей кумулянтной скобки имеет вид

(7.7.3)

Эти формулы относятся к двумоментному распределению одного случайного процесса. Для двух случайных процессов (3.4.1) и (4.7.6) приведут нас к выражениям

(7.7.4)

Для двумоментного распределения двух случайных процессов из (3.4.6) находим

(7.7.5)

Для кумулянтных скобок аналогичные формулы получаются из (4.7.9):

(7.7.6)

3. Интересной особенностью полученных формул размыкания(7.7.2) — (7.7.6) является линейная зависимость их правых частей от кумулянтных функций вида (7.7.1). С помощью кумулянтных уравнений нетрудно доказать, что такая ситуация будет иметь место всякий раз, когда по крайней мере одна из переменных ( или ) будет входить линейно в моментные или кумулянтные скобки при произвольной зависимости от . При этом как порядок скобок, так и их структура могут быть любыми. Это подтверждается, например, формулой размыкания кумулянтной скобки третьего порядка

(7.7.7)

которая вытекает из (4.7.16), а также формулами

(7.7.8)

следующими из (11.11), (11.12). Здесь переменные принимают независимо друг от друга значения или . Первая формула содержит, по существу, четыре отдельные формулы, а вторая — восемь.

4. Важным следствием отмеченной выше особенности формул размыкания моментных скобок является элементарно доказываемая линейность взаимосвязи моментных и кумулянтных функций вида (7.7.1). Полагая, например, в формуле (7.7.2) , сразу же найдем, что

(7.7.9)

Аналогичным образом из формул (7.7.5) получим

(7.7.10)

Входящие в (7.7.9), (7.7.10) одномерные и двумерные моменты от времени не зависят.