15.3. Эксцессное приближение

1. Рассмотрим опять дифференциальное уравнение (15.2.1) с совершенно случайным стационарным процессом и будем теперь предполагать, что у марковского процесса отличны от тождественного нуля первые четыре кумулянта

и соответствующие кумулянтные функции.

Уравнения эволюции этих кумулянтов определяются формулами (10.6.9)-(10.6.12):

(15.3.1)

Статистическое усреднение приводится в эксцессном приближении. В этом параграфе мы будем иметь дело только с таким усреднением. Поэтому для простоты всюду будем записывать вместо .

Из (15.3.1) следует, что нам необходимо знать теперь уже четыре первых кинетических коэффициента. Для этого достаточно совершенно случайный процесс считать эксцессным процессом с коэффициентами интенсивности и (как всегда, мы полагаем ).

Выражая правые части (15.3.1) через кумулянты и решая полученные для них кинетические уравнения при заданных начальных условиях, мы найдем временную эволюцию кумулянтов негауссова марковского процесса в эксцессном приближении.

2. Если кинетические коэффициенты не зависят от времени, а переходные процессы заканчиваются, то кумулянты приобретают установившиеся значения , которые могут быть найдены или из системы уравнений

(15.3.2)

или из эквивалентной ей системы [см. (10.6.23)],

3. Кумулянтные функции стационарного марковского процесса

в эксцессном приближении согласно (10.8.7), (10.8.9), (10.8.11) определяются линейными уравнениями

(15.3.3)

которые следует решать при начальных условиях

и в которых коэффициенты определяются выражениями записываем просто как

(15.3.4)

Если — корни характеристического уравнения

все различны, то ковариационные функции равны

(15.3.5)

Коэффициенты находятся из начальных условий и определяются следующей системой уравнений [см. (10.8.16)] :

(15.3.6)

определитель которой равен

Таким образом, в эксцессном приближении

Времена корреляции зависят от первых четырех кумулянтов и в конечном счете сложным образом зависят от — коэффициентов интенсивности совершенно случайного процесса.

4. Определив вид ковариационной функции, легко записать и спектральную плотность, марковского процесса в эксцессном приближении:

(15.3.7)

Сравнивая это выражение с (15.2.8), видим, что эксцессное приближение привело к более сложному виду спектра. Суперпозиция трех резонансных кривых, параметры которых различным образом зависят от коэффициентов интенсивности воздействующего шума, может давать в результате спектр, мало похожий на обычный резонансный, спектральная плотность (15.3.7) может причудливым образом изменяться при изменении .

Пример 15.3.1. Пусть имеется инерционное нелинейное преобразование , определяемое уравнением

где — стационарный дельта-процесс коэффициентами интенсивности .

Согласно кинетические коэффициенты рассматриваемого марковского процесса равны

Уравнения эволюции первых четырех кумулянтов в эксцессном приближении согласно (15.3.1) имеют следующий вид:

(15.3.8)

Установившиеся значения кумулянтов даются уравнениями

Коэффициенты, определяющие кинетические уравнения кумулянтных функций, на основании (15.3.4) таковы:

(15.3.9)

Во всех этих выражениях, как уже говорилось, усреднение производится в эксцессном приближении. Полученные уравнения (15.3.8) и значения коэффициентов (15.3.9) будут использованы в последующих параграфах для конкретного вида функции .