11.2. Моментные функции и частотные характеристики линейной системы

1. Рассмотрим подробнее переходную функцию линейной устойчивой системы . Поскольку эта функция является собственным решением дифференциального уравнения (11.1.4), она затухает со временем не медленнее, чем , где не превышает порядка дифференциального оператора — некоторая положительная постоянная. Это ведет к тому, что интеграл от ее квадрата конечен. Это значит, что функция может быть отнесена к первой группе сигналов и для нее может быть построена функция корреляции первого рода [35]

(11.2.1)

которую назовем корреляционной функцией системы. Она обладает всеми необходимыми свойствами функции корреляции и описывает временные свойства собственных процессов линейной системы.

Совершенно также может быть введена функция корреляции и для :

2. Определим теперь коэффициент передачи системы, соответствующей преобразованию (11.1.3), который должен однозначно выражаться через .

Пусть , тогда на основании(11.1.11)

Следовательно, по определению, коэффициент передачи, равный

(11.2.2)

пропорционален коэффициенту Фурье переходной функции.Записывая

мы имеем, опять по определению, — частотную и — фазовую характеристики линейной системы.

Поскольку каждой функции корреляции соответствует некоторый спектр, то можно поставить вопрос о том, какой же спектр соответствует функции корреляции ? Так как принадлежит к первой группе сигналов, то следует искать спектр энергии этой функции, который может быть легко найден через ее коэффициент Фурье (см. [35]). Имея ввиду (11.2.2), получаем

(11.2.3)

Таким образом, спектр энергии переходной функции является преобразованием Фурье функции корреляции системы

(11.2.4)

и пропорционален ее частотной характеристике.

3. Для переходной функции системы существуют две характерные длительности. Прежде всего — это эффективная длительность самого отклика системы на дельта-воздействие — время релаксации системы:

(11.2.5)

Здесь через обозначено .

Кроме этого, существование функции корреляции (11.2.1) позволяет ввести время корреляции системы [ср. с (7.3.7)]

(11.2.6)

В общем случае и различны. Если , то будем говорить, что имеется система простого типа, если же — система сложного типа. Очевидно, что случая быть не может.

Можно ввести еще понятие полосы системы как величину, обратную времени корреляции системы: . Тогда для систем простого типа , а для систем сложного типа .

4. Если теперь обратиться к общему уравнению линейного преобразования (11.1.1), то коэффициент передачи такой системы можно найти, рассматривая установившееся решения(11.1.12) (для ) или (11.1.13) (для ).

Для

Если ,

При частотная характеристика линейной системы также является сопряженной Фурье функции корреляции

в отличие от случая , для которого не удается найти такую простую связь .

5. Введем теперь моментные функции системы. Функцию корреляции системы (11.2.1) можно рассматривать как моментную функцию второго порядка. Эта моментная функция есть по существу временная моментная функция, поскольку вместо усреднения по ансамблю стоит интегрирование по времени и это интегрирование (а не усреднение по времени) связано с тем, что функция принадлежит, как уже говорилось, к первой группе сигналов, обладающих конечной энергией.

В общем случае моментные функции линейной системы, представленной переходной функцией , определяются следующим образом:

(11.2.7)

Подобно тому как бесконечный набор моментных функций случайного процесса при определенных услошшх описывает его исчерпывающим образом, так и бесконечный набор моментных функций (11.2.7) может исчерпывающим образом описывать линейную систему (точнее говоря, переходную функцию системы).

Нетрудно убедиться в том, что моментные функции (11.2.7) обладают всеми свойствами моментных (и кумулянтных) функций стационарного случайного процесса. Мы уже указывали, что моментная функция второго порядка обладает всеми свойствами ковариационной функции. Также легко проверить, что, например, [ср. с (7.2.2)]

и, следовательно, [ср. с (7.2.3)]

Для моментной функции порядка s также справедливы соотношения, подобные (7.2.6) со всеми вытекающими из них последствиями.

6. Сопряженная Фурье моментной функции второго порядка, умноженная на , согласно (11.2.3), (11.2.4), равна частотной характеристике линейной системы. Это обстоятельство позволяет ввести для линейной системы бесконечный набор частотных характеристик:

(11.2.8)

Поскольку моментная функция -гo порядка обладает всеми свойствами соответствующей кумулянтной функции стационарного случайного процесса, постольку частотная характеристика s-гo порядка обладает всеми свойствами спектральной плотности того же порядка (см. § 8.3).

Частотная характеристика второго порядка совпадает при этом с обычной частотной характеристикой системы

и является вещественной функцией частоты, в отличие от частотных характеристик высших порядков.

При определенных условиях бесконечный набор частотных характеристик системы

вместе с также исчерпывающим образом представляет линейную систему.