14.12. Нелинейные преобразования гауссовой совокупности

1. Если совокупность входных случайных процессов есть гауссова, то любые статистические характеристики выходной совокупности зависят только от средних значений и ковариационных функций . Производные выходных моментных функций (взятых в моменты времени ) по среднему значению и ковариационной функции принимают согласно (14.11.1) следующий вид :

Здесь .

Будем далее интересоваться разложением выходных моментных функций только по входным ковариационным функциям и только для значений , т. е. рассматривать уравнение

(14.12.1)

2. Обратимся к двухполюсной нелинейной безынерционной системе, изображенной на рис. 14.10. Пусть взаимосвязь выходов со входами определяется уравнениями

где — стационарная совокупность гауссовых случайных процессов с заданными значениями

Связь выходных корреляционных функций с ковариационными функциями входа определяется следующими уравнениями:

(14.12.2)

где . С помощью этих уравнений можно легко найти коэффициенты разложения искомых корреляционных функций по степеням . При их вычислении случайные переменные полагаются статистически независимыми.

Рис. 14.10. и Рис. 14.11.

Если нелинейная система имеет «разделенные каналы», рис. 14.11, так что

то корреляционные функции определяются согласно § 14.6, спектральные плотности — согласно § 14.10, а уравнение для на основании (14.12.2) имеет вид

Это уравнение также было получено ранее Р. Прайсом [47] для гауссовой входной совокупности случайных процессов. Начальные условия этого дифференциального уравнения таковы:

Отсюда нетрудно написать ковариационный ряд для по степеням совместной ковариационной функции [ср. с (4.5.13)]:

(14.12.3)

Выполняя косинус-преобразование Фурье обеих частей этого выражения, найдем совместную спектральную плотность выходных переменных:

(14.12.4)

Коэффициенты разложений (14.12.3), (14.12.4) зависят от средний значений и дисперсий входных переменных. 3. Теперь рассмотрим пример.

Пример 14.12.1. Пусть на два отдельных канала, обладающих разными характеристиками (рис. 14.11), подается один и тот же случайный процесс. Требуется найти совместную ковариационную функцию выходов, т. е. определить характер линейной статистической связи между выходами.

Согласно (14.12.3) общее выражение для совместной ковариационной функции выходов имеет в рассматриваемом случае вид

(14.12.5)

1) Пусть один из каналов является линейным: , а другой имеет произвольную нелинейность . Тогда в разложении (14.12.5) будет отличным от нуля только одно слагаемое:

(14.12.6)

Таким образом, совместная ковариационная функция выходов пропорциональна ковариационной функции входа. Эта ситуация типична для линейных каналов. В самом деле. Если вместо нелинейного канала с характеристикой мы возьмем линейный канал с , то от (14.12.5) мы придем опять к (14.12.6).

2) Пусть теперь один из каналов является квадратичным: , а второй обладает произвольной нелинейностью . Тогда (14.12.5) приводит нас (полагаем для простоты ) к

Легко видеть, что точно такой же результат мы получим, если второй канал будет иметь квадратичную нелинейность .

Из всего этого следует, что канал, обладающий «меньшей» нелинейностью, как бы заменяет второй канал более простым, статистически ему эквивалентным. Так, в первом случае линейный канал производит «статистическую линеаризацию» второго нелинейного канала, а во втором случае — «статистическую квадратизацию».

Из (14.12.3) вытекает следующая важная формула для гауссовой совокупности двух случайных стационарных процессов. Пусть произвольная функция. Тогда [ср. с (3.4.3), (7.7.4)]

(14.12.7)

Следовательно,

(14.12.8)