Глава 3. КУМУЛЯНТЫ УРАВНЕНИЯ

3.1. Дифференциальные уравнения вероятностного распределения

1. Рассмотрим вероятностное распределение, заданное каким-либо конкретным бесконечным набором кумулянтов В бесконечномерном пространстве кумулянтов этому набору соответствует точка, принадлежащая -множеству (см. §2.7). Другому конкретному набору кумулянтов соответствует другая точка -множества. Таким образом на -множестве мы можем задать общий вид вероятностного распределения

(3.1.1)

Назовем такую форму записи произвольного вероятностного распределения канонической. Этой форме распределения соответствует характеристическая функция

(3.1.2)

являющаяся положительно-определенной для всех точек Р-множества.

Если изменять значение каких-либо кумулянтов из набора , то, вообще говоря, можно выйти за пределы -множества. Будем предполагать, однако, в дальнейшем, что при том или ином варьировании кумулянтов, например, при вычислении производных , мы все время будем оставаться внутри -множества.

2. Для получения дифференциальных уравнений, которым подчиняется каноническая форма вероятностных распределений, продифференцируем

по какому-либо кумулянту :

Из (3.1.2) имеем

(3.1.3)

Поэтому

Так как

то

(3.1.4)

Полагая здесь получаем искомую систему дифференциальных уравнений в частных производных, которым подчиняется каноническая форма произвольного вероятностного распределения. Следует сказать, что, исключая гауссово распределение

(3.1.5)

ни одно из конкретных вероятностных распределений , например, (1.1.2), (1.1.3)] не представлено в канонической форме. Плотность вероятности обычно задается в виде некоторой функции и каких-либо параметров, налагающих те или иные конкретные связи на кумулянты. Поэтому проверка уравнений (3.1.4) непосредственной подстановкой плотностей вероятности годится только для гауссова распределения (3.1.5), которое, как легко проверить, удовлетворяет системе (3.1.4) при .

В заключение параграфа заметим, что при из (3.1.4) следует уравнение

решением которого является очевидная зависимость канонической формы распределения от среднего значения: