3.3. Обобщения на многомерные распределения

1. Не представляет большого труда обобщить полученные в предыдущем параграфе результаты и на многомерные распределения.

Записывая в канонической форме вероятностное распределение двух случайных величин однозначно представленное набором совместных кумулянтов, можно показать, аналогично предыдущему, что оно удовлетворяет системе дифференциальных уравнений

(3.3.1)

Принимая во внимание (3.3.1) и дифференцируя двумерное среднее статистическое

по совместному кумулянту , получим следующее основное кумулянтное уравнение для двумерного распределения [30]:

(3.3.2)

Используя это уравнение многократно, придем к

(3.3.3)

В общем случае имеет место следующее соотношение:

(3.3.4)

Полученные кумулянтные уравнения составляют основу кумулянтного анализа совокупности двух случайных величин.

2. Для многомерных вероятностных распределений, однозначно представленных набором совместных кумулянтов , обобщением формулы (3.3.2) является формула

(3.3.5)

где — заданная функция совокупности случайных переменных.

Для ковариации двух различных случайных переменных из

(3.3.5) следует уравнение

Это выражение было получено ранее Брауном, который ошибочно полагал, что оно справедливо только для гауссовой совокупности [43].

Применяя формулу (3.3.5) многократно, легко записать уравнения и для других, более сложных производных, например,

(3.3.6)

3. Полученные формулы, рецепт использования которых тот же, что и ранее (см. 3.2, п. 3), дают, например, возможность легко находить разложение совместных моментов многомерного распределения через его кумулянты, что мы и проиллюстрируем двумя примерами.

Пример 3.3.1. Рассмотрим совместный момент третьего порядка

Для нахождения коэффициентов используем формулы :

Таким образом, мы получаем вторую строчку формулы (1.3.2).

Пример 3.3.2. Если совместный момент третьего порядка содержит три случайные переменные, то

Отсюда с помощью (3.3.5), (3.3.6) находим

Таким образом, мы доказали справедливость первой строчки в формуле (1.6.4). Аналогично вычисляется и вторая строчка.

В заключение параграфа отметим, что мы попутно получили простой способ нахождения коэффициентов разложения по кумулянтам как центральных совместных моментов , которые получаются из моментов , так и квазимоментов .