10.9. Кинетические уравнения многомерного марковского процесса

1. Многомерным марковским процессом или марковской совокупностью называется такой векторный процесс, который обладает плотностью вероятности переходов . удовлетворяющей уравнению Смолуховского

Случайные процессы , входящие в марковскую совокупность, называются компонентами многомерного марковского процесса. Многомерный марковский процесс может быть представлен системой дифференциальных уравнений первого порядка

где векторная случайная функция должна быть такой, чтобы при фиксированном было совершенно случайным векторным процессом. Если функция является детерминированной и гладкой, то совершенно случайным векторным процессом должно быть случайное воздействие .

Как и в случае простого марковского процесса, одномоментная плотность вероятности многомерного марковского процесса полностью определяет всю дальнейшую эволюцию совокупности . Поэтому кинетическое уравнение для имеет вид

Выбирая в качестве начального условия , мы получим кинетическое уравнение и для плотности вероятности переходов:

(10.9.1)

Кинетический оператор многомерного марковского процесса, действующий на компоненты вектора , в общем случае имеет вид [16]

По повторяющимся индексам , нумерующим компоненты марковского процесса, происходит суммирование. Кинетические коэффициенты многомерного марковского процесса являются симметрическими функциями индексов и определяются как

(10.9.2)

Здесь знак усреднения означает статистическое усреднение по при фиксированных значениях компонент

"Обратное" кинетическое уравнение для плотности вероятности переходов имеет вид

где сопряженный кинетический оператор равен

(10.9.3)

Многомерный марковский процесс называется непрерывным, если отличными от нуля являются только одноиндексные и двухиндексные кинетические коэффициенты, т. е. и . Многомерный марковский процесс называется однородным во времени, если , и однородным в пространстве, если

2. Для частного случая двумерного марковского процесса с компонентами прямые кинетические уравнения имеют вид

где кинетический оператор равен

Здесь введены следующие упрощенные обозначения кинетиче-ческих коэффициентов:

которые мы будем часто употреблять именно для двумерного марковского процесса.

Пример 10.9.1. Случайный процесс , описываемый уравнением , где — гауссов дельтакоррелированный процесс с интенсивностью , есть немарковский процесс. Если, однако, ввести случайный процесс и рассматривать два уравнения первого порядка , то совокупность будет марковской (как, впрочем, и процесс ). Кинетические коэффициенты этой совокупности равны