Глава 12. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КУМУЛЯНТНЫХ И МОМЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ

12.1. Преобразование кумулянтных функций

1. В предыдущей главе мы нашли общие связи выхода и входа линейного преобразования , описываемого дифференциальным уравнением

Пусть теперь входной сигнал есть случайный процесс, исчерпывающим образом представленный набором моментных или кумулянтных функций :

Поставим задачу найти моментные и кумулянтные функции выходного случайного процесса

Аналогично предыдущему эту общую задачу разобьем на две отдельных в соответствии с уравнениями

и будем также рассматривать моментные и кумулянтные функции промежуточной переменной :

Начнем анализ с преобразования , соответствующего линейному дифференциальному уравнению

Решение этого дифференциального уравнения является суммой собственного и вынужденного движений. Первое определяется начальными условиями и, если они детерминированы, само является детерминированным. Это движение мы не будем рассматривать, его учет тривиален, ибо он вносит вклад только в первую кумулянтную функцию.

Вынужденное движение, начинающееся в момент , согласно (11.1.8), будем рассматривать в виде (опуская индекс «вын»)

(12.1.1)

2. Не представляет никакого труда найти моментные и кумулянтные функции интеграла (12.1.1). Образуя произведения , усредняя левую и правую части и принимая во внимание коммутируемость операции усреднения и интегрирования, найдем

(12.1.2)

Также практически «мгновенно» можно написать и выражения для кумулянтных функций, если учесть свойства кумулянтных скобок и, в частности, их линейность по отношению к каждому аргументу:

(12.1.3)

3. Обсудим теперь полученные результаты. Прежде всего отметим, что связь как моментных, так и кумулянтных функций дается линейными интегральными соотношениями (12.1.2), (12.1.3). Это обстоятельство является, разумеется, следствием линейности системы преобразования Далее, следует обратить внимание на то, что для нахождения -й кумулянтной (моментной) функции процесса необходимо знать именно s-ю кумулянтную (моментную) функцию переменной . Таким образом, линейное преобразование процессов сопровождается линейным же преобразованием соответствующих моментных и кумулянтных функций.

Другое важное следствие полученных выражений заключается в том, что связь между кумулянтными (моментными) функциями входа и выхода инерционна. Это происходит из-за инерционности линейной системы, соответствующей интегральному соотношению (12.1.1). Инерционность связи ведет, например, к тому, что хотя кумулянтные функции на входе и определяют кумулянтные функции на выходе, этого отнюдь не будет для кумулянтов. Действительно, чтобы получить, например, выражение для -гo кумулянта, достаточно в соответствующей кумулянтной функции приравнять аргументы. Из (12.1.3) получаем

(12.1.4)

Таким образом, кумулянты выходного процесса определяются не кумулянтами, а кумулянтными функциями входного процесса. Это справедливо и для моментов. Это значит, что для получения полной информации хотя бы об одномоментном вероятностном распределении на выходе линейной инерционной системы необходимо знать, в общем случае, все многомоментные распределения на входе.

Это связано с тем, что выходная переменная инерционной системы в каждый данный момент времени является взвешенной суммой входных переменных, взятых в различные предшествующие моменты времени.

Если же на входе инерционной линейной системы задано лишь одномоментное распределение , то единственное, что можно узнать о выходном процессе, — это его среднее значение:

Это обстоятельство обусловлено тем, что среднее значение случайного процесса есть его «постоянная составляющая», т. е. составляющая, которая «изменяется» столь медленно, что инерционность системы для нее не играет никакой роли.

4. Что можно сказать о преобразовании формы вероятностного распределения линейной системой? В общем случае форма распределения может измениться весьма сильно, ибо из-за действия инерционности системы зависимость от может иметь совершенно иной вид, чем зависимость от тех же моментов времени. Тем не менее некоторые общие закономерности существуют.

Так, например, если процесс таков, что для некоторого набора , то аналогичными свойствами будет обладать и , для которого также для тех же значений . Следовательно, если статистические связи некоторых порядков во входном процессе отсутствуют, то линейная система не создаст этих связей и для выходного процесса.

Таким образом, можно говорить о кумулянтной инвариантности (см. § 4.2) и для инерционного линейного преобразования случайного процесса, понимая под этим сохранение числа тождественно равных нулю кумулянтных функций.

В этой связи становится совершенно очевидной инвариантность модельных распределений случайных процессов (в том числе, разумеется, и гауссова) к инерционным линейным преобразованиям.

В то же время при линейном инерционном преобразовании кумулянтные функции претерпевают определенные изменения. Это позволяет поставить вопросы: что происходит с негауссовым распределением случайного процесса при его прохождении через линейные системы? Приближается ли, например, выходное распределение к гауссову по сравнению с входным или отдаляется от него? Подробному рассмотрению этих вопросов посвящены § 12.6—12.8.

5. Переменный верхний предел интеграла (12.1.1) отражает переходные процессы, совершающиеся в системе. Если эти переходные процессы учитывать, то вероятностное распределение на выходе линейной системы будет заведомо нестационарным, даже при стационарном входе. Так, если является сильно стационарным процессом, для которого , то, согласно (12.1.3), кумулянтные функции

(12.1.5)

зависят не только от разностей но и непосредственно от .

Если же рассматриваемая линейная система является устойчивой, то при переходные процессы закончатся, и выходной случайный процесс при таких , равный

(12.1.6)

становится независимым от переходных процессов, как и его вероятностное распределение.

Если при этом входной процесс сильно стационарен, то случайный процесс на выходе также будет сильно стационарным. В этом случае

(12.1.7)

Очевидно, что то же самое соотношение имеет место и для моментных функций выходной переменной:

(12.1.8)

Если же входной процесс является лишь слабо стационарным, то слабо стационарным будет и выходной случайный процесс.

6. Последние две формулы, описывающие преобразование моментных и кумулянтных функций сильно стационарного случайного процесса, могут быть записаны весьма компактно, если воспользоваться моментными функциями линейной системы (см. § 11.2)

А именно, нетрудно доказать, что формулы (12.1.7) и (12.1.8) примут теперь вид

(12.1.10)

Здесь использована многомерная свертка, означающая