Введение

1. К настоящему времени опубликовано немало книг, посвященных прикладным теориям случайных процессов применительно к различным статистическим задачам радиофизики, радиотехники и электроники, теории связи, автоматического управления и т. п. (см., например, (1—91). В большинстве подобных книг, как правило, основным способом представления случайных величин и процессов, помимо функций распределения и характеристических функций, является описание их различными статистическими средними, в том числе моментами и моментными функциями. При анализе преобразований случайных переменных, особенно нелинейных преобразований, в первую очередь интересуются тем, как преобразуются вероятностные распределения, моменты и моментные функции; для них пишут уравнения и с их помощью анализируют те или иные статистические закономерности преобразований.

Вместе с этим существует и другой подход к изучению случайных величин и процессов — их описание с помощью кумулянтов (семиинвариантов) и кумулянтных функций (обобщенных корреляционных функций) [5, 10—15], являющихся нелинейными комбинациями статистических средних. Такой подход использовался и в теории случайных процессов [5, 10, 11,16, 17, 74—77], и при решении прикладных задач (см., например, [18—25, 67]).

2. Хотя с формальной точки зрения кумулянтное описание случайных переменных дает столь же полное их статистическое представление, сколь и моментное, оно обладает, вместе с тем, важными и привлекательными преимуществами.

Первое преимущество заключается в том, что кумулянты и ку-мулянтные функции, в отличие от моментов и моментных функций, а также и от так называемых квазимоментных функций [26, 27], имеют четко выраженный самостоятельный статистический смысл и могут быть заданы в определенной степени независимо друг от друга, являясь в этом плане некоторыми «нормальными координатами» статистического описания. Это приводит, например, к тому, что различные статистические средние «выходов» нелинейных преобразований выражаются простым образом именно через кумулянты «входных» переменных.

Второе преимущество кумулянтов и кумулянтных функций связано с тем, что учет их высших порядков позволяет просто описать любую степень негауссовости случайных величин и процессов.

По этой причине основную ценность кумулянтное описание имеет именно для негауссовых переменных.

Третье, весьма важное преимущество кумулянтного описания случайных величин и процессов обусловлено тем, что конечному набору кумулянтов всегда соответствует некоторая «хорошая» вещественная функция, аппроксимирующая вероятностное распределение, в то время как несингулярной функции, все высшие моменты которой равнялись бы нулю, не существует. Это обстоятельство имеет особо важное значение при приближенном представлении вероятностных распределений тех случайных величин и процессов, для которых можно отыскать лишь конечные наборы кумулянтов и кумулянтных функций.

3. Вместе с тем следует признать, что несмотря на указанные преимущества, метод кумулянтов и кумулянтных функций не получил еще достаточно широкого распространения. Это связано с малой изученностью как свойств кумулянтов и кумулянтных функций, так и возможностей их использования. В свою очередь, это обусловлено отсутствием адекватного аппарата кумулянтного описания случайных переменных и их преобразований, который имеется для моментов и моментных функций (аппарат статистических средних). Хотя моменты и моментные функции всегда можно выразить через соответствующие кумулянты и кумулянтные функции, но такой непосредственный путь приводит к большим затруднениям при переходе от «языка моментов» на «язык кумулянтов», особенно при нелинейных преобразованиях случайных переменных.

Таким образом, для эффективной реализации кумулянтного подхода и наиболее полного использования его возможностей при исследовании статистических характеристик и свойств случайных негауссовых переменных и их преобразований необходимо разработать специальный аппарат кумулянтного анализа.

Опыт разработки такого аппарата вместе с многочисленными примерами его использования в теории случайных величин, случайных процессов и их преобразований предлагается вниманию читателя настоящей монографией, значительная часть которой содержит оригинальный материал.

Методологической основой развиваемого кумулянтного анализа негауссовых случайных величин и процессов служат:

— формализм кумулянтных скобок [28, 29], описывающих статистические взаимосвязи случайных переменных и обладающих рядом простых и важных свойств;

— аппарат кумулянтных уравнений [30, 31], взаимосвязывающих средние значения каких-либо функций от негауссовых переменных с кумулянтами этих переменных;

— оперирование со случайными переменными, обладающими конечным набором отличных от нуля кумулянтов и кумулянтных функций;

— аппарат кинетических уравнений кумулянтов и кумулянтных функций марковских процессов и совокупностей [29, 32, 33].