Глава 4. КУМУЛЯНТНЫЙ АНАЛИЗ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

4.1. Постановка задачи

1. Пусть имеется совокупность случайных величин , представленная плотностью вероятности , и преобразование заданное соотношениями :

Требуется отыскать плотность вероятности . Такова самая общая постановка задачи о преобразовании совокупности случайных величин. Следует, однако, сказать, что в общем случае произвольных функций практическое решение этой задачи безнадежное дело даже для двумерных случайных величин. Только в том случае, когда обратные функции всюду однозначны, не представляет особого труда выразить через (см., например, (5, 13]).

Вместе с тем для большого круга конкретных ситуаций нет необходимости обращаться к , а достаточно выяснить лишь некоторые статистические характеристики , такие, например, как моменты и кумулянты, предположив, их известными для .

При такой постановке задачи, а именно ею мы, в основном, и ограничимся, развитая в предыдущих главах техника кумулянтного анализа случайных величин позволит нам значительно продвинуться вперед.

Мы начнем с кумулянтного анализа линейных преобразований, несмотря на то, что для них легко может быть записано общее выражение для . Дело в том, что уже для линейных преобразований отыскание «выходных» кумулянтов непосредственно через «входные» является несравненно более простой операцией, нежели их вычисление с помощью .