10.10. Уравнения кумулянтов многомерного марковского процесса
1. Найдем теперь уравнения эволюции моментов и кумулянтов многомерного марковского процесса. Производная по времени от среднего значения какой-либо функции 
компонент многомерного марковского процесса равна
Если функция непосредственно от времени не зависит, то
(10.10.1)
Приведенные формулы полностью аналогичны (10.6.1),(10.6.2).
2. Выбирая в качестве 
произведения вида 
и принимая во внимание формулу (10.9.3) для сопряженного кинетического оператора, с помощью (10.10.1) нетрудно записать уравнения эволюции для любых моментов многомерного марковского процесса.
Так, для одной компоненты марковского процесса получим
(10.10.2)
Для двух компонент уравнение моментов
можно записать короче, если ввести скобки симметризации и проводить симметризацию по индексам:
(10.10.3)
Очевидно, что если положить здесь (10.10.3) перейдет во вторую формулу (10.10.2). Аналогично найдем, что, например,
(10.10.4)
Для трех компонент марковского процесса будем иметь
Отсюда при 
получим третью формулу (10.10.2), а при 
формулу (10.10.4)
Эволюция произвольного момента многомерного марковского процесса определяется уравнением
(10.10.5)
Для частного случая двумерного марковского процесса с компонентами 
последняя формула принимает вид
(10.10.6)
3. Переход от уравнений эволюции для моментов многомерного марковского процесса к уравнениям для кумулянтов осуществляется по тому же принципу, что и для одномерного марковского процесса: моментные скобки в обеих частях уравнений заменяются на кумулянтные.
Для одной компоненты марковского процесса вместо (10.10.2) получим
(10.10.7)
Для двух компонент вместо (10.10.3) и (10.10.4) найдем
(10.10.8)
Для трех компонент
Для 
компонент
(10.10.9)
Для частного случая двумерного марковского процесса вместо (10.10.6) будем иметь
(10.10.10)
В том случае, когда двумерный марковский процесс непрерывен, так что отличными от нуля являются только кинетические коэффициенты 
, общая формула (10.10.10) принимает следующий вид:
(10.10.11)
Пример 10.10.1. Для случайного процесса, рассмотренного в примере 10.9.1, из (10.10.11) получаем следующие кинетические уравнения для кумулянтов:
Решая эти уравнения при произвольных начальных условиях, находим, в частности,
Мы получили полную картину эволюции статистических свойств случайного процесса 
, представленного дифференциальным уравнением 
. Прежде всего, видно, что при произвольных начальных условиях 
не является гауссовым процессом и не стремится к нему при возрастании времени. Вместе с этим если рассмотреть относительные значения кумулянтов, т. е. кумулянтные коэффициенты 
, то происходит нормализация нормированного процесса, ибо 
уменьшается, как 
. Интересно отметить также, что гауссов случайный процесс 
вносит вклад (коэффициент 
только во второй кумулянт 
, в то время как эволюция высших кумулянтов определяется лишь начальными условиями. Если начальные условия таковы, что 
при 
является гауссовым, то гауссовость сохраняется и для 
.
4. В заключение параграфа запишем на основании (10.10.5) и (10.10.9) две эквивалентные системы уравнений, определяющих установившиеся значения моментов и кумулянтов многомерного марковского процесса, т. е. уравнения, связывающие моменты и кумулянты стационарного многомерного марковского процесса с его кинетическими коэффициентами.
Первая система:
(10.10.12)
Вторая система:
(10.10.13)
